Norme constante, orthogonalité, et la dérivabilité de la norme

La stratégie. On ne travaille jamais sur $\Vert f\Vert$ directement : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$. On travaille sur $g=\Vert f{\Vert }^2=⟨f,f⟩$, dérivable sans hypothèse supplémentaire parce que le produit scalaire est bilinéaire, et l'on ne repasse à la norme qu'à la fin, là où c'est licite.

a) Norme constante et orthogonalité. Le produit scalaire est bilinéaire sur $E\times E$, de dimension finie : le théorème du cours donne $g$ dérivable avec $$g^{\prime }(t)=⟨f^{\prime }(t),f(t)⟩+⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩=2⟨f^{\prime }(t),f(t)⟩.$$ Enchaînons les équivalences : $\Vert f\Vert$ est constante si et seulement si $g=\Vert f{\Vert }^2$ l'est (le carré est injectif sur ${\mathbb{R}}_{+}$, et $\Vert f\Vert =\sqrt{g}$) ; $g$ est une fonction réelle dérivable sur l'intervalle $I$, donc constante si et seulement si $g^{\prime }=0$ ; et $g^{\prime }=2⟨f^{\prime },f⟩$. D'où $$\Vert f\Vert \text{ constante}⟺\forall t\in I,⟨f^{\prime }(t),f(t)⟩=0.$$

L'interprétation. Si $f(t)$ est la position d'un mobile et $f^{\prime }(t)$ sa vitesse : le mobile reste sur une sphère centrée à l'origine si et seulement si sa vitesse est à chaque instant orthogonale à son rayon vecteur. On le vérifie sur le cercle : $⟨f,f^{\prime }⟩=\cos t(-\sin t)+\sin t\cos t=0$.

b) La dérivabilité hors des zéros. Si $f$ ne s'annule pas, $g>0$, et la racine carrée est dérivable sur $]0,+\infty [$ de dérivée $u\mapsto \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Par composition, $\Vert f\Vert =\sqrt{g}$ est dérivable avec $$(\Vert f\Vert {)}^{\prime }(t)=\frac{g^{\prime }(t)}{2\sqrt{g(t)}}=\frac{2⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩}{2\Vert f(t)\Vert }=\frac{⟨f(t),f^{\prime }(t)⟩}{\Vert f(t)\Vert }.$$ Cauchy-Schwarz donne $|⟨f,f^{\prime }⟩|\le \Vert f\Vert \Vert f^{\prime }\Vert$, d'où $|(\Vert f\Vert {)}^{\prime }(t)|\le \Vert f^{\prime }(t)\Vert$ : la vitesse d'éloignement est toujours majorée par la vitesse, avec égalité exactement pour un mouvement radial. Noter enfin que, même en un zéro, la seconde inégalité triangulaire $|\Vert u\Vert -\Vert v\Vert |\le \Vert u-v\Vert$ montre que $\Vert f\Vert$ reste continue : c'est cette continuité, et elle seule, qu'utilisera le lemme de Gronwall à l'exercice 8.

c) Ce qui se passe en un zéro. L'hypothèse « $f$ ne s'annule pas » est suffisante, pas nécessaire. Avec $f(t)=(t,0)$, on a $\Vert f(t)\Vert =|t|$, non dérivable en $0$ : le taux d'accroissement vaut $|h|/h$, égal à $1$ à droite et $-1$ à gauche. Avec $f(t)=(t^2,0)$, qui s'annule aussi en $0$, on a $\Vert f(t)\Vert =t^2$, parfaitement dérivable. Le seul responsable est la racine carrée : là où $f$ ne s'annule pas, $\Vert f\Vert$ hérite de toute la régularité de $f$, puisque $g$ l'a et que $\sqrt{\cdot }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$.

Ce que l'exercice installe. Dériver une application bilinéaire transforme une information analytique ($g^{\prime }=0$) en une information géométrique (orthogonalité). Retenir la démarche complète : on carre pour éviter la racine, on dérive par bilinéarité, on conclut par « dérivée nulle sur un intervalle », et l'on ne repasse à la norme qu'après s'être assuré qu'on ne divise pas par zéro.