Sommes de Riemann vectorielles

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques (MP/MPI), chapitre 7 — Fonctions vectorielles · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Déterminer la limite de $S_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n (cos \frac{k π}{n}, sin \frac{k π}{n})$ .

Corrigé

$S_{n}$ est la somme de Riemann (à droite, ce qui ne change pas la limite) de $f (t) = (cos π t, sin π t)$ sur $[0, 1]$ : $S_{n} ⟶ \int_{0}^{1} (cos π t, sin π t) d t = ([\frac{sin π t}{π}]_{0}^{1}, [\frac{- cos π t}{π}]_{0}^{1}) = (0, \frac{2}{π}) .$ (Une seule limite vectorielle calcule les deux limites réelles d'un coup — et géométriquement, $(0, \frac{2}{π})$ est le « barycentre » des points du demi-cercle supérieur.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.