Ce que l'intégrabilité ne dit pas

La question de fond. L'intégrabilité est une information globale — une aire finie. « $f(x)\to 0$ » est une information ponctuelle. Rien n'oblige a priori la seconde à découler de la première, et l'exercice délimite exactement ce qu'il faut ajouter pour que le pont existe.

a) Avec la décroissance, la conclusion est forte. Soit $x\ge 2$. Sur l'intervalle $\left[\frac{x}{2},x\right]$, la décroissance donne $f(t)\ge f(x)$ pour tout $t$. En intégrant sur cet intervalle, de longueur $\frac{x}{2}$ : $${\int }_{x/2}^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge \frac{x}{2}f(x)\ge 0.$$ Or $f$ est intégrable, donc $F(x)={\int }_1^{x}f$ a une limite finie $L$ en $+\infty$, et $${\int }_{x/2}^{x}f=F(x)-F\left(\frac{x}{2}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }L-L=0,$$ les deux arguments $x$ et $\frac{x}{2}$ tendant vers $+\infty$. Par encadrement, $\frac{x}{2}f(x)\to 0$, donc $xf(x)\to 0$.

Le point délicat — le choix de l'intervalle. Il n'est pas anodin. Sur $[x-1,x]$, le même raisonnement donnerait seulement $f(x)\to 0$, conclusion plus faible : c'est la longueur proportionnelle à $x$ qui produit le facteur $x$. (Aucune vitesse n'est garantie pour autant : pour $f(t)=\frac{1}{t{\ln }^{2}t}$, positive, décroissante et intégrable sur $[2,+\infty [$, le produit $xf(x)=\frac{1}{{\ln }^{2}x}$ vaut encore environ $2\cdot 10^{-3}$ en $x=10^{10}$.)