Ce que l'intégrabilité ne dit pas

La question de fond. L'intégrabilité est une information globale — une aire finie. « $f(x)\to 0$ » est une information ponctuelle. Rien n'oblige a priori la seconde à découler de la première, et l'exercice délimite exactement ce qu'il faut ajouter pour que le pont existe.

a) Avec la décroissance, la conclusion est forte. Soit $x\ge 2$. Sur l'intervalle $\left[\frac{x}{2},x\right]$, la décroissance donne $f(t)\ge f(x)$ pour tout $t$. En intégrant sur cet intervalle, de longueur $\frac{x}{2}$ : $${\int }_{x/2}^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge \frac{x}{2}f(x)\ge 0.$$ Or $f$ est intégrable, donc $F(x)={\int }_1^{x}f$ a une limite finie $L$ en $+\infty$, et $${\int }_{x/2}^{x}f=F(x)-F\left(\frac{x}{2}\right)\underset{x\to +\infty }{\to }L-L=0,$$ les deux arguments $x$ et $\frac{x}{2}$ tendant vers $+\infty$. Par encadrement, $\frac{x}{2}f(x)\to 0$, donc $xf(x)\to 0$.

Le point délicat — le choix de l'intervalle. Il n'est pas anodin. Sur $[x-1,x]$, le même raisonnement donnerait seulement $f(x)\to 0$, conclusion plus faible : c'est la longueur proportionnelle à $x$ qui produit le facteur $x$. (Aucune vitesse n'est garantie pour autant : pour $f(t)=\frac{1}{t{\ln }^{2}t}$, positive, décroissante et intégrable sur $[2,+\infty [$, le produit $xf(x)=\frac{1}{{\ln }^{2}x}$ vaut encore environ $2\cdot 10^{-3}$ en $x=10^{10}$.)

b) Sans la décroissance, tout est permis. Pour $n\ge 1$, soit $T_n$ la « bosse triangulaire » nulle hors de $\left[n-2^{-n-1},n+2^{-n-1}\right]$, affine sur chaque demi-intervalle, valant $1$ au sommet $t=n$ et $0$ aux deux bords : sa base a pour largeur $2^{-n}$ et sa hauteur vaut $1$. Les supports sont deux à deux disjoints, tous contenus dans $[n-\frac{1}{4},n+\frac{1}{4}]$. Posons $f={\sum }_{n\ge 1}{T}_n$.

Elle est bien définie, positive et continue : en tout point, un terme au plus est non nul ; $f$ est identiquement nulle entre deux bosses consécutives, et chaque $T_n$ se raccorde continûment à $0$.

Elle est intégrable : $f\ge 0$, et pour tout $X$, l'aire sous $f$ sur $[0,X]$ est majorée par la somme des aires de toutes les bosses, $${\int }_0^{X}f\le \sum _{n\ge 1}\frac{1}{2}\cdot 2^{-n}\cdot 1=\frac{1}{2}.$$ Les intégrales partielles d'une fonction positive étant majorées, $f$ est intégrable, d'intégrale exactement $\frac{1}{2}$.

Elle ne tend pas vers $0$ : $f(n)=1$ pour tout entier $n$, alors que $f(n+\frac{1}{2})=0$. « Intégrable » contrôle une aire ; cela n'interdit pas des pics arbitrairement hauts, pourvu qu'ils soient assez étroits.

c) Avec l'uniforme continuité, la conclusion revient. Raisonnons par l'absurde : supposons que $f(t)$ ne tende pas vers $0$. Il existe alors $\epsilon >0$ et une suite $t_n\to +\infty$ telle que $|f(t_n)|\ge \epsilon$ pour tout $n$. L'uniforme continuité fournit $\delta >0$ tel que $$|t-s|\le \delta ⟹|f(t)-f(s)|\le \frac{\epsilon }{2}.$$ Donc, pour $t\in [t_n,t_n+\delta ]$, $|f(t)|\ge |f(t_n)|-\frac{\epsilon }{2}\ge \frac{\epsilon }{2}$, d'où $${\int }_{t_n}^{t_n+\delta }|f|\ge \frac{\epsilon \delta }{2}>0.$$ Mais $f$ est intégrable, donc le reste ${\int }_x^{+\infty }|f|$ tend vers $0$ quand $x\to +\infty$ ; en particulier il existe $X$ tel que ${\int }_X^{+\infty }|f|<\frac{\epsilon \delta }{2}$. Pour $n$ assez grand, $t_n\ge X$ et alors ${\int }_{t_n}^{t_n+\delta }|f|\le {\int }_X^{+\infty }|f|<\frac{\epsilon \delta }{2}$ : contradiction. Donc $f(t)\to 0$.

Ce que la fonction du b) viole. Elle est continue mais pas uniformément continue : les pentes de ses bosses valent $2^{n+1}$, donc ne sont pas bornées, et aucun $\delta$ ne peut convenir simultanément pour toutes. Elle n'est pas non plus monotone. Les deux hypothèses de l'exercice — décroissance, uniforme continuité — jouent le même rôle : empêcher la fonction de faire des pics de plus en plus étroits.

d) L'intégrale nulle force la nullité. Supposons $f$ continue, positive, d'intégrale nulle sur $I$, et supposons par l'absurde qu'il existe $t_0\in I$ avec $f(t_0)>0$. Par continuité en $t_0$, il existe $\eta >0$ tel que $f(t)\ge \frac{f(t_0)}{2}$ sur $J=[t_0-\eta ,t_0+\eta ]\cap I$, intervalle de longueur $\ell >0$ (si $t_0$ est une extrémité de $I$, on prend le demi-intervalle, ce qui ne change rien). La positivité de $f$ donne alors $${\int }_{I}f\ge {\int }_{J}f\ge \ell \frac{f(t_0)}{2}>0,$$ ce qui contredit ${\int }_{I}f=0$. Donc $f$ est identiquement nulle.

Pourquoi il n'y a pas contradiction avec le b). La fonction du b) a pour intégrale $\frac{1}{2}$, pas $0$. L'énoncé du d) est le seul du chapitre qui contraigne ponctuellement une fonction sans hypothèse de régularité supplémentaire — et il ne le fait que dans le cas extrême où l'aire est nulle. Dès que l'aire est un réel strictement positif, aucune information ponctuelle ne s'en déduit : c'est exactement ce que le b) démontre.

Ce que l'exercice installe. Une fonction peut être intégrable sans tendre vers $0$ : la retenir, cette bosse glissante, elle servira de garde-fou toute l'année. Pour faire passer une information globale au ponctuel, il faut une hypothèse de régularité — monotonie ou uniforme continuité —, et la démonstration est toujours la même : minorer l'intégrale sur un petit intervalle par l'aire d'un rectangle dont la hauteur est la valeur cherchée. Seul l'énoncé « intégrale nulle », lui, ne demande rien.