Convergente sans être intégrable

Ce que l'exercice veut séparer. Le cours donne deux définitions qu'un débutant confond : l'intégrale ${\int }_a^{+\infty }f$ converge signifie que $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ a une limite finie en $+\infty$ ; $f$ est intégrable sur $[a,+\infty [$ signifie que ${\int }_a^{+\infty }|f|$ converge. La seconde implique la première, et l'exercice montre que la réciproque est fausse — sur l'exemple le plus célèbre.

a) La borne $0$ est un faux problème. Au voisinage de $0$, $\sin t=t+o(t)$, donc $\frac{\sin t}{t}\to 1$ quand $t\to 0$. La fonction se prolonge par continuité en posant sa valeur à $1$ en $0$ ; sur $[0,1]$ elle est alors continue, et ${\int }_0^1\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ est une intégrale ordinaire sur un segment, pas une intégrale généralisée. La seule borne généralisée est $+\infty$, et c'est elle seule qu'il faut étudier. (Réflexe du chapitre : avant toute étude, on identifie les bornes qui posent vraiment problème ; une singularité apparente qui se prolonge par continuité n'en est pas une.)

b) La convergence, par intégration par parties. Sur $[1,x]$, les fonctions $t\mapsto -\cos t$ et $t\mapsto \frac{1}{t}$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$, d'où $${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t={\left[\frac{-\cos t}{t}\right]}_1^x-{\int }_1^x\frac{\cos t}{t^2}\mathrm{d}t=\cos 1-\frac{\cos x}{x}-{\int }_1^x\frac{\cos t}{t^2}\mathrm{d}t.$$ Examinons les deux termes qui dépendent de $x$. D'abord $\left|\frac{\cos x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0$. Ensuite $\left|\frac{\cos t}{t^2}\right|\le \frac{1}{t^2}$, qui est intégrable sur $[1,+\infty [$ (Riemann, $\alpha =2>1$) : par comparaison de fonctions positives, $t\mapsto \frac{\cos t}{t^2}$ est intégrable, donc son intégrale converge absolument, donc elle converge. Les deux termes ont une limite finie, donc ${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ aussi : $${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\text{ converge.}$$ Ce que l'intégration par parties a fait. Elle a transformé un intégrande en $\frac{1}{t}$ — trop lent pour être intégrable — en un intégrande en $\frac{1}{t^2}$, qui l'est : chaque intégration par parties sur une oscillation gagne une puissance de $t$, parce qu'on primitive la partie oscillante et qu'on dérive la partie lente.

c) La non-intégrabilité, par paquets. Sur $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ avec $k\ge 1$, on a $t\le (k+1)\pi$, donc $\frac{1}{t}\ge \frac{1}{(k+1)\pi }$, et $${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t\ge \frac{1}{(k+1)\pi }{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin t|\mathrm{d}t=\frac{2}{(k+1)\pi },$$ la dernière égalité parce que $|\sin |$ est $\pi$-périodique et que ${\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2$. Sommons de $k=1$ à $n$ : par la relation de Chasles, $${\int }_{\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t\ge \frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k+1}\underset{n\to +\infty }{\to }+\infty ,$$ la série harmonique divergeant. Les intégrales partielles de $\left|\frac{\sin t}{t}\right|$, qui sont croissantes, ne sont donc pas majorées : $\frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable sur $[1,+\infty [$.

Conclusion. L'intégrale ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ converge sans que la fonction soit intégrable. C'est le contre-exemple qui sépare définitivement les deux notions.

d) Pourquoi la comparaison ne dit rien. Le théorème de comparaison du cours s'énonce ainsi : si $f=O(g)$ au voisinage de $+\infty$ et si $g$ est intégrable, alors $f$ est intégrable — et l'énoncé avec les équivalents suppose la fonction de référence de signe constant. Ici $\frac{\sin t}{t}$ change de signe une infinité de fois, et surtout : aucun théorème de comparaison ne conclut jamais à la convergence, ils concluent tous à l'intégrabilité. L'hypothèse qui manque n'est donc pas une hypothèse technique, c'est que la conclusion demandée n'est pas de la bonne nature. Pour obtenir une convergence sans intégrabilité, il n'y a que deux outils : le calcul explicite, et l'intégration par parties du b).

e) Une telle fonction n'existe pas. Soit $f$ positive et continue sur $[0,+\infty [$. La fonction $F(x)={\int }_0^{x}f$ est alors croissante, puisque sa dérivée $f$ est positive. Une fonction croissante a une limite finie en $+\infty$ si et seulement si elle est majorée. Or $|f|=f$ : dire que ${\int }_0^{+\infty }f$ converge, c'est dire que $F$ a une limite finie, c'est dire que $F$ est majorée, c'est exactement dire que ${\int }_0^{+\infty }|f|$ converge, c'est-à-dire que $f$ est intégrable. Pour une fonction de signe constant, convergence et intégrabilité sont la même chose — et c'est pourquoi tout le chapitre travaille avec des valeurs absolues : on se ramène systématiquement au cas positif, où les deux notions fusionnent.

Ce que l'exercice installe. Deux définitions, une implication, une réciproque fausse. Retenir que la comparaison, les équivalents, les $O$ et les $o$ ne servent qu'à prouver l'intégrabilité — jamais la convergence seule —, et qu'ils exigent une référence de signe constant. Retenir aussi les deux techniques de l'exercice : l'intégration par parties qui fabrique la convergence en gagnant une puissance, et la minoration par paquets qui tue l'intégrabilité en faisant apparaître une série divergente. (La valeur $\frac{\pi }{2}$ de cette intégrale est célèbre, mais l'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme : ce qui compte ici est la séparation des deux notions, pas le calcul.)