Intégrer les $O$, les $o$ et les équivalents

Le théorème, et sa structure. Le chapitre des séries recommence ici avec une variable continue. Soient $f$ et $g$ continues par morceaux au voisinage de $+\infty$, avec $g$ de signe constant. Si $f\sim g$, alors : si $\int g$ diverge, ${\int }_a^{x}f\sim {\int }_a^{x}g$ (on intègre du côté des intégrales partielles) ; si $\int g$ converge, ${\int }_x^{+\infty }f\sim {\int }_x^{+\infty }g$ (on intègre du côté des restes). Les mêmes énoncés valent pour $O$ et $o$. Le choix du côté n'est pas libre : il est dicté par la nature de l'intégrale de référence.

a) Le cas divergent. La référence $g(t)=\frac{1}{t}$ est positive — c'est l'hypothèse de signe constant, la seule qui compte — et son intégrale diverge, puisque ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x\to +\infty$. Le théorème, côté intégrales partielles, donne donc $${\int }_1^{x}f\sim {\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x.$$

Pourquoi il faut l'hypothèse de signe. Sans elle, l'énoncé est faux : c'est l'objet du e). On remarquera aussi que la conclusion est robuste — la valeur de $f$ sur un segment ne change rien, puisque $\ln x\to +\infty$ absorbe toute constante additive : dans le cas divergent, seules comptent les grandes valeurs de $x$.