Intégrer les $O$, les $o$ et les équivalents

Le théorème, et sa structure. Le chapitre des séries recommence ici avec une variable continue. Soient $f$ et $g$ continues par morceaux au voisinage de $+\infty$, avec $g$ de signe constant. Si $f\sim g$, alors : si $\int g$ diverge, ${\int }_a^{x}f\sim {\int }_a^{x}g$ (on intègre du côté des intégrales partielles) ; si $\int g$ converge, ${\int }_x^{+\infty }f\sim {\int }_x^{+\infty }g$ (on intègre du côté des restes). Les mêmes énoncés valent pour $O$ et $o$. Le choix du côté n'est pas libre : il est dicté par la nature de l'intégrale de référence.

a) Le cas divergent. La référence $g(t)=\frac{1}{t}$ est positive — c'est l'hypothèse de signe constant, la seule qui compte — et son intégrale diverge, puisque ${\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x\to +\infty$. Le théorème, côté intégrales partielles, donne donc $${\int }_1^{x}f\sim {\int }_1^x\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln x.$$

Pourquoi il faut l'hypothèse de signe. Sans elle, l'énoncé est faux : c'est l'objet du e). On remarquera aussi que la conclusion est robuste — la valeur de $f$ sur un segment ne change rien, puisque $\ln x\to +\infty$ absorbe toute constante additive : dans le cas divergent, seules comptent les grandes valeurs de $x$.

b) L'équivalent de l'intégrale de la gaussienne renversée. Posons $G(x)=\frac{e^{x^2}}{2x}$ pour $x\ge 1$, et dérivons : $$G^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot e^{x^2}\cdot 2x-e^{x^2}\cdot 2}{4x^2}=e^{x^2}\left(1-\frac{1}{2x^2}\right).$$ Comme $1-\frac{1}{2x^2}\to 1$, on a $G^{\prime }(x)\sim e^{x^2}$. Les deux fonctions $G^{\prime }$ et $t\mapsto e^{t^2}$ sont positives au voisinage de $+\infty$ (dès que $x\ge 1$), et ${\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t$ diverge (l'intégrande tend vers $+\infty$, donc est minorée par $1$ à partir d'un certain rang, et ${\int }_1^{x}1=x-1\to +\infty$). Le théorème, côté intégrales partielles, donne $${\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\sim {\int }_1^x{G}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=G(x)-G(1)\sim G(x)=\frac{e^{x^2}}{2x},$$ la dernière équivalence parce que $G(x)\to +\infty$ et que $G(1)$ est une constante. Enfin ${\int }_0^x={\int }_0^1+{\int }_1^x$, et l'ajout de la constante ${\int }_0^1{e}^{t^2}\mathrm{d}t$ ne change pas l'équivalent : $${\int }_0^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\sim \frac{e^{x^2}}{2x}.$$

c) Le même résultat par intégration par parties. L'idée est d'écrire l'intégrande comme un produit dont un facteur se primitive exactement : $$e^{t^2}=\frac{1}{2t}\cdot \left(2t{e}^{t^2}\right),$$ où $2t{e}^{t^2}$ est la dérivée de $e^{t^2}$. Sur $[1,x]$ : $${\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t={\left[\frac{e^{t^2}}{2t}\right]}_1^x+{\int }_1^x\frac{e^{t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t=\frac{e^{x^2}}{2x}-\frac{e}{2}+{\int }_1^x\frac{e^{t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t.$$ Le terme négligé est la dernière intégrale. Justifions-le : $\frac{e^{t^2}}{2t^2}=\frac{1}{t}\cdot \frac{e^{t^2}}{2t}=o\left(e^{t^2}\right)$, car $\frac{1}{2t^3}\to 0$. La référence $e^{t^2}$ est positive et d'intégrale divergente : on intègre la négligeabilité du côté des intégrales partielles, et $${\int }_1^x\frac{e^{t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t=o\left({\int }_1^x{e}^{t^2}\mathrm{d}t\right)=o\left(\frac{e^{x^2}}{2x}\right),$$ par le b). Le crochet fournit donc le terme principal, et l'on retrouve l'équivalent. Les deux méthodes sont complémentaires : l'intégration par parties fabrique le terme principal, l'intégration des comparaisons le valide.

d) Le cas convergent. Si $f\sim g$ au voisinage de $+\infty$, avec $g$ de signe constant et ${\int }^{+\infty }g$ convergente, alors les restes sont équivalents : ${\int }_x^{+\infty }f\sim {\int }_x^{+\infty }g$.

Appliquons-le à la queue de la gaussienne. L'intégration par parties, avec $e^{-t^2}=\frac{-1}{2t}\cdot \left(-2t{e}^{-t^2}\right)$, donne sur $[x,+\infty [$ : $${\int }_x^{+\infty }{e}^{-t^2}\mathrm{d}t={\left[\frac{-e^{-t^2}}{2t}\right]}_x^{+\infty }-{\int }_x^{+\infty }\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t=\frac{e^{-x^2}}{2x}-{\int }_x^{+\infty }\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t,$$ le crochet en $+\infty$ étant nul. Majorons le reste : pour $t\ge x\ge 1$, $\frac{1}{2t^2}=\frac{1}{2t^3}\cdot t\le \frac{t}{2x^3}$, donc $$0\le {\int }_x^{+\infty }\frac{e^{-t^2}}{2t^2}\mathrm{d}t\le \frac{1}{2x^3}{\int }_x^{+\infty }t{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2x^3}\cdot \frac{e^{-x^2}}{2}=\frac{e^{-x^2}}{4x^3},$$ qui est bien un $o\left(\frac{e^{-x^2}}{2x}\right)$. D'où $${\int }_x^{+\infty }{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\sim \frac{e^{-x^2}}{2x}(x\to +\infty ).$$ C'est la queue de la gaussienne, l'estimation la plus utilisée des probabilités : la masse au-delà de $x$ décroît comme $e^{-x^2}$, divisée par $2x$.

e) Si la référence change de signe, le théorème tombe. Prenons, sur $[1,+\infty [$, $$g(t)=\frac{\sin t}{\sqrt{t}},f(t)=\frac{\sin t}{\sqrt{t}}+\frac{{\sin }^{2}t}{t}.$$ Ce sont bien des équivalents : $f(t)=g(t)\left(1+\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\right)$, et $\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\to 0$, donc $f\sim g$ au sens de la définition.

L'intégrale de $g$ converge : par intégration par parties, comme à l'exercice 1, ${\int }_1^x\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t={\left[\frac{-\cos t}{\sqrt{t}}\right]}_1^x-{\int }_1^x\frac{\cos t}{2t^{3/2}}\mathrm{d}t$, dont les deux termes ont une limite finie ($t^{-3/2}$ est intégrable).

L'intégrale de $f$ diverge : ${\int }_1^x\frac{{\sin }^{2}t}{t}\mathrm{d}t={\int }_1^x\frac{1-\cos 2t}{2t}\mathrm{d}t$, somme d'un terme $\frac{1}{2}\ln x$ qui tend vers l'infini et d'une intégrale convergente (même intégration par parties). Donc ${\int }_1^x(f-g)$ diverge, et comme ${\int }_1^{x}g$ converge, ${\int }_1^{x}f$ diverge.

Deux fonctions équivalentes, l'une d'intégrale convergente, l'autre non : l'hypothèse de signe constant n'est pas décorative. C'est exactement le contre-exemple du chapitre des séries, $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ contre $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$, transposé à la variable continue.

Ce que l'exercice installe. Trois réflexes. Le côté est imposé par la nature : intégrales partielles si ça diverge, restes si ça converge. La référence doit être de signe constant, sans quoi tout s'effondre. Et l'intégration par parties est la machine qui fabrique le terme principal quand aucune primitive n'existe : on écrit l'intégrande comme « lent $\times$ dérivée de rapide », le crochet donne le terme principal, et l'intégrale restante se prouve négligeable par le théorème lui-même.