L'échelle de Riemann complète

Calcul direct des intégrales partielles (cours) : en $+\infty$, convergence si et seulement si $\alpha >1$ ; en $0$, si et seulement si $\alpha <1$ ($u=1/t$ échange d'ailleurs les deux situations). Pour ${\int }_0^{+\infty }$ il faudrait simultanément $\alpha >1$ et $\alpha <1$ : l'intégrale ne converge pour aucun $\alpha$. Moralité : les deux moitiés de l'échelle de Riemann sont incompatibles — toute intégrale sur $]0,+\infty [$ exige deux études séparées.