L'intégrale de 1/√t(1-t) sur ]0,1[ vaut π

Stratégie. Deux bornes ouvertes, donc deux études de convergence menées séparément après un découpage de Chasles ; puis un changement de variable trigonométrique qui rend l'intégrande constante — c'est le miracle de cet exercice, et il vient de ce que $\sqrt{t(1-t)}$ est exactement la dérivée de $t={\sin }^{2}u$, au facteur $2$ près.

Étape 1 — convergence. La fonction $g(t)=\frac{1}{\sqrt{t(1-t)}}$ est continue et strictement positive sur $]0,1[$ ; elle n'est définie ni en $0$ ni en $1$. On coupe en $\frac{1}{2}$ (Chasles) et on traite les deux bornes indépendamment.

• En $0^{+}$ : $1-t\to 1$, donc $g(t)\sim \frac{1}{\sqrt{t}}=t^{-1/2}$. L'intégrale de référence ${\int }_0^{1/2}{t}^{-\alpha }\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\alpha <1$ (Riemann en borne finie, le miroir du critère à l'infini) ; ici $\alpha =\frac{1}{2}<1$. Par comparaison de fonctions positives, ${\int }_0^{1/2}g$ converge.
• En $1^{-}$ : le changement $t\leftrightarrow 1-t$ échange les deux bornes et laisse $g$ invariante ; donc $g(t)\sim (1-t{)}^{-1/2}$ et ${\int }_{1/2}^{1}g$ converge de même.

Donc ${\int }_0^{1}g$ converge ; $g$ étant positive, elle est intégrable sur $]0,1[$.

Étape 2 — le changement de variable. Posons $t=\phi (u)={\sin }^{2}u$. Alors $\phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ avec $${\phi }^{\prime }(u)=2\sin u\cos u=\sin (2u)>0\text{sur }\left]0,\frac{\pi }{2}\right[,$$ donc $\phi$ est strictement croissante, et comme $\phi (0^{+})=0$ et $\phi \left({\frac{\pi }{2}}^{-}\right)=1$, c'est une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$ sur $]0,1[$. Le théorème de changement de variable pour les intégrales généralisées (bijection monotone de classe ${\mathcal{C}}^1$ entre les deux intervalles ouverts) s'applique : les deux intégrales sont de même nature et égales.

Étape 3 — le calcul. Pour $u\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, on a $\sin u>0$ et $\cos u>0$, donc $$t(1-t)={\sin }^{2}u(1-{\sin }^{2}u)={\sin }^{2}u{\cos }^{2}u,\sqrt{t(1-t)}=\sin u\cos u$$ (sans valeur absolue, précisément parce que les deux facteurs sont positifs sur cet intervalle). D'où $$g(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)=\frac{2\sin u\cos u}{\sin u\cos u}=2,$$ et $${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(1-t)}}={\int }_0^{\pi /2}2\mathrm{d}u=2\cdot \frac{\pi }{2}=\boxed{\pi }.$$

Le point délicat. Il faut choisir l'intervalle sur lequel $\phi$ est bijective. Sur $]0,\pi [$ tout entier, ${\sin }^2$ n'est pas injective (elle croît puis décroît), le théorème ne s'applique pas, et le calcul naïf donnerait ${\int }_0^{\pi }2\mathrm{d}u=2\pi$, soit le double — chaque valeur de $t$ étant atteinte deux fois. De même, écrire $\sqrt{{\sin }^{2}u{\cos }^{2}u}=|\sin u\cos u|$ sans vérifier le signe est la faute jumelle.

Une primitive exacte, pour le contrôle. Le même changement de variable donne, pour $0<\epsilon <\frac{1}{2}$ : $${\int }_{\epsilon }^{1-\epsilon }\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(1-t)}}=\pi -4\arcsin \left(\sqrt{\epsilon }\right),$$ car $t=\epsilon$ correspond à $u=\arcsin \sqrt{\epsilon }$ et $t=1-\epsilon$ à $u=\frac{\pi }{2}-\arcsin \sqrt{\epsilon }$.

Contrôle numérique. Le calcul numérique direct de l'intégrale (avec découpe en $\frac{1}{2}$ pour isoler les deux singularités) donne $$3,1415926535897932185\text{contre}\pi =3,1415926535897932385,$$ soit un écart de $2\cdot 10^{-17}$. Les intégrales partielles confirment la formule exacte ci-dessus :

$\epsilon$	${\int }_{\epsilon }^{1-\epsilon }$	$\pi -\int$	$4\arcsin \sqrt{\epsilon }$	$4\sqrt{\epsilon }$
$10^{-2}$	$2,7409230$	$0,40066968$	$0,40066968$	$0,40000000$
$10^{-4}$	$3,1015920$	$0,04000067$	$0,04000067$	$0,04000000$
$10^{-6}$	$3,1411927$	$0,00400000$	$0,00400000$	$0,00400000$

Les colonnes $3$ et $4$ coïncident chiffre pour chiffre : la primitive est la bonne. On lit au passage la lenteur de la convergence des intégrales partielles, en $4\sqrt{\epsilon }$ — il faut $\epsilon =10^{-12}$ pour six décimales exactes. Une singularité en $t^{-1/2}$ est intégrable, mais tout juste.

Acquis. C'est la loi arcsinus de la théorie des probabilités : la fonction $\frac{1}{\pi \sqrt{t(1-t)}}$ est une densité sur $]0,1[$ — l'intégrale calculée ici est exactement sa constante de normalisation. On peut aussi la voir comme $B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, la fonction bêta d'Euler, qui vaut $\frac{\Gamma (1/2{)}^2}{\Gamma (1)}=\pi$ puisque $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$.