La domination décide, en trois situations

a) L'intervalle qui dépend de $n$. Premier réflexe : le théorème de convergence dominée porte sur des fonctions définies sur un intervalle fixe. On prolonge donc par $0$ : posons, sur $I=[0,+\infty [$, $$f_n(t)={\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n{1}_{[0,n]}(t),\text{de sorte que}{\int }_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n\mathrm{d}t={\int }_I{f}_n.$$

Convergence simple. Fixons $t\ge 0$. Pour $n>t$, $f_n(t)=e^{n\ln (1-t/n)}$, et $n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)=n\left(-\frac{t}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\to -t$. Donc $f_n(t)\to e^{-t}$, et ceci pour tout $t$ fixé.

Domination. La concavité du logarithme donne $\ln (1-u)\le -u$ pour $u\in [0,1[$, d'où $n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)\le -t$ et $$0\le f_n(t)\le e^{-t}=\phi (t)\text{pour tout }n\text{ et tout }t\in I,$$ $\phi$ étant intégrable sur $[0,+\infty [$ et indépendante de $n$ — les deux conditions qui font la domination.

Conclusion. Par convergence dominée, ${\int }_I{f}_n\to {\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}\mathrm{d}t=1$.

Contrôle exact. Ici le calcul direct est possible : avec $u=1-\frac{t}{n}$, $\mathrm{d}t=-n\mathrm{d}u$, $${\int }_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n\mathrm{d}t=n{\int }_0^1{u}^n\mathrm{d}u=\frac{n}{n+1}⟶1.$$ Le théorème est vérifié sur pièce, et l'on voit même la vitesse : l'écart vaut $\frac{1}{n+1}$.

b) Quand aucune dominante n'existe.

Convergence simple. À $t\in ]0,1]$ fixé, $f_n(t)=\frac{n}{1+n^2{t}^2}\sim \frac{1}{n{t}^2}\to 0$. Donc $f_n\to 0$ simplement sur $]0,1]$.

Les intégrales. ${\int }_0^1\frac{n\mathrm{d}t}{1+n^2{t}^2}=[\arctan (nt){]}_0^1=\arctan n⟶\frac{\pi }{2}$.

La conclusion du théorème est donc fausse ici : les fonctions tendent vers $0$ mais leurs intégrales tendent vers $\frac{\pi }{2}$. Une hypothèse manque nécessairement, et ce ne peut être que la domination.

Démontrons qu'aucune dominante n'existe. Supposons $\phi$ intégrable sur $]0,1]$ avec $f_n\le \phi$ pour tout $n$. Fixons $t\in ]0,1]$ et choisissons $n=\lfloor \frac{1}{t}\rfloor$, qui est un entier $\ge 1$ vérifiant $n\le \frac{1}{t}<n+1$, donc $nt\le 1$ et $n>\frac{1}{t}-1$. Alors $$\phi (t)\ge f_n(t)=\frac{n}{1+n^2{t}^2}\ge \frac{n}{2}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}-1\right)=\frac{1-t}{2t}.$$ Or $\frac{1-t}{2t}\sim \frac{1}{2t}$ en $0^{+}$, et $t\mapsto \frac{1}{2t}$ n'est pas intégrable en $0$ (Riemann, $\alpha =1$). Par comparaison de fonctions positives, $\phi$ n'est pas intégrable : contradiction. Aucune domination n'existe.

La lecture. La masse de $f_n$ — d'aire environ $\frac{\pi }{2}$ — se concentre dans une bosse de hauteur $n$ et de largeur $\frac{1}{n}$, qui glisse vers $0$. C'est la « bosse glissante », version intégrale de la fonction de l'exercice 2 : la limite simple ne voit rien passer, alors que l'aire, elle, ne disparaît jamais. La domination est exactement ce qui interdit à la masse de fuir.

c) Quand la domination est inutile. L'inégalité élémentaire $|\sin u|\le u$ pour $u\ge 0$, appliquée à $u=\frac{t}{n}$, donne pour tout $t>0$ $$\left|\frac{\sin (t/n)}{t(1+t^2)}\right|\le \frac{t/n}{t(1+t^2)}=\frac{1}{n(1+t^2)}.$$ Donc, par l'inégalité triangulaire intégrale, $$\left|{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (t/n)}{t(1+t^2)}\mathrm{d}t\right|\le \frac{1}{n}{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{\pi }{2}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ (L'intégrale converge bien : en $0$ l'intégrande se prolonge par continuité puisque $\frac{\sin (t/n)}{t}\to \frac{1}{n}$, et en $+\infty$ il est dominé par $\frac{1}{n{t}^2}$.)

Le réflexe. On n'a invoqué aucun théorème : une majoration uniforme explicite suffisait, et elle donne en prime la vitesse, en $\frac{1}{n}$. Convoquer la convergence dominée ici serait plus long, plus fragile, et n'apprendrait rien de plus. On ne sort le théorème que lorsque la limite ne se majore pas à la main.

Ce que l'exercice installe. Trois situations, trois conduites. Domaine variable : prolonger par $0$ et travailler sur un intervalle fixe. Domination impossible : ce n'est pas un échec de recherche, cela se démontre — on évalue $f_n$ au point où elle est maximale, ici $n\approx \frac{1}{t}$, et l'on obtient une minoration non intégrable de toute dominante. Majoration directe disponible : on l'utilise, et l'on garde le théorème pour les cas où il est vraiment nécessaire. Retenir enfin la bosse glissante : elle est le contre-exemple universel du chapitre.