mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 8 · Exercice classique

La fonction Γ est C^∞ et strictement convexe

Intégration sur un intervalle quelconque · D. Intégrales à paramètre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que $Γ$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ avec $Γ^{(k)} (x) = \int_{0}^{+ \infty} (ln t)^{k} t^{x - 1} e^{- t} d t$ , et que $Γ$ est strictement convexe (extension $C^{k}$ : sur $[a, b] \subset] 0, \infty [$ , dominer $∣ ln t ∣^{k} t^{x - 1} e^{- t}$ par $∣ ln t ∣^{k} (t^{a - 1} + t^{b - 1}) e^{- t}$ , intégrable ; $Γ^{''} = \int (ln t)^{2} t^{x - 1} e^{- t} > 0$ ).

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

Exercices semblables

La transformée de Laplace corrigé
La fonction $Γ$ d'Euler corrigé
Problème — L'intégrale de Gauss et la transformée de la gaussienne corrigé
L'intégrale de 1/√t(1-t) sur ]0,1[ vaut π
Le « rêve de l'étudiant »

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre