mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 8 · Exercice de TD

La transformée de Laplace

Intégration sur un intervalle quelconque · D. Intégrales à paramètre · niveau 2

Énoncé

Soit $f$ continue par morceaux et bornée sur $[0, + \infty [$ , et $M = sup_{[0, + \infty [} ∣ f ∣$ . On pose $L f (x) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- x t} d t$ .

a) Montrer que $L f (x)$ est définie pour tout $x > 0$ .

b) Montrer que $L f$ est continue sur $] 0, + \infty [$ .

c) Montrer que $L f (x) \to 0$ quand $x \to + \infty$ .

d) Calculer $L (cos (b \cdot))$ pour $b \in R$ , et vérifier sur cet exemple les conclusions du b) et du c).

Corrigé de la question 1

a) Le domaine. Pour $x > 0$ fixé, $t \mapsto f (t) e^{- x t}$ est continue par morceaux sur $[0, + \infty [$ et $f (t) e^{- x t} \leq M e^{- x t},$ fonction intégrable sur $[0, + \infty [$ puisque $\int_{0}^{+ \infty} e^{- x t} d t = \frac{1}{x}$ (c'est l'une des intégrales de référence du cours). Par comparaison de fonctions positives, $t \mapsto f (t) e^{- x t}$ est intégrable : $L f (x)$ est définie pour tout $x > 0$ , avec au passage $∣ L f (x) ∣ \leq \frac{M}{x}$ .

(Pour $x = 0$ rien n'est garanti : $L f (0) = \int_{0}^{+ \infty} f$ n'a aucune raison de converger, par exemple pour $f = 1$ .)

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $L f$ est continue sur $] 0, + \infty [$ .

Élève

Pour la continuité sous l'intégrale, je domine $∣ f (t) e^{- x t} ∣$ par $M e^{- x t}$ , mais ce majorant dépend de $x$ et, quand $x \to 0^{+}$ , il tend vers $M$ , qui n'est pas intégrable sur $[0, + \infty [$ .

Ton diagnostic est juste : aucune domination indépendante de $x$ n'existe sur tout $] 0, + \infty [$ . Pour établir la continuité en un point $x_{0} > 0$ donné, as-tu vraiment besoin de contrôler ce qui se passe pour $x$ proche de $0$ ?

Élève

Non : je peux me placer sur $[a, + \infty [$ avec $0 < a < x_{0}$ . Là, $e^{- x t} \leq e^{- a t}$ pour $t \geq 0$ , et ce majorant ne dépend plus de $x$ .

Bien. Quelles hypothèses du théorème de continuité sous l'intégrale vérifies-tu sur $[a, + \infty [$ , et quel argument permet de passer de ces intervalles à la continuité sur tout $] 0, + \infty [$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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