La transformée de Laplace

a) Le domaine. Pour $x>0$ fixé, $t\mapsto f(t)e^{-xt}$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty [$ et $$|f(t)e^{-xt}|\le M{e}^{-xt},$$ fonction intégrable sur $[0,+\infty [$ puisque ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-xt}\mathrm{d}t=\frac{1}{x}$ (c'est l'une des intégrales de référence du cours). Par comparaison de fonctions positives, $t\mapsto f(t)e^{-xt}$ est intégrable : $\mathcal{L}f(x)$ est définie pour tout $x>0$, avec au passage $|\mathcal{L}f(x)|\le \frac{M}{x}$.

(Pour $x=0$ rien n'est garanti : $\mathcal{L}f(0)={\int }_0^{+\infty }f$ n'a aucune raison de converger, par exemple pour $f=1$.)

b) La continuité — le réflexe « sur tout intervalle adapté ». Le théorème de continuité sous l'intégrale demande une domination indépendante de $x$. Elle est impossible sur $]0,+\infty [$ tout entier : quand $x\to 0^{+}$, la majorante $M{e}^{-xt}$ se dégrade vers la constante $M$, qui n'est pas intégrable. On ne domine donc jamais sur l'ouvert, on domine sur tout intervalle adapté.

Fixons $a>0$ et plaçons-nous sur $[a,+\infty [$. Pour $x\ge a$ et $t\ge 0$, $$|f(t)e^{-xt}|\le M{e}^{-at}=:\phi (t),$$ et $\phi$ est intégrable sur $[0,+\infty [$, indépendante de $x$. De plus, pour $t$ fixé, $x\mapsto f(t)e^{-xt}$ est continue sur $[a,+\infty [$. Le théorème de continuité s'applique : $\mathcal{L}f$ est continue sur $[a,+\infty [$. Comme $a>0$ est arbitraire et que tout point de $]0,+\infty [$ appartient à un tel $[a,+\infty [$, $\mathcal{L}f$ est continue sur $]0,+\infty [$.

c) La limite en $+\infty$. Deux voies, toutes deux correctes.

Par la majoration du a). On a vu $|\mathcal{L}f(x)|\le \frac{M}{x}$, qui tend vers $0$ : c'est immédiat.

Par la convergence dominée, version famille à paramètre réel. Pour $t>0$ fixé, $f(t)e^{-xt}\to 0$ quand $x\to +\infty$ ; et la domination $|f(t)e^{-xt}|\le M{e}^{-at}$ vaut uniformément pour $x\ge a$. Le théorème, dans sa version à paramètre réel, donne $\mathcal{L}f(x)\to {\int }_0^{+\infty }0=0$. C'est cette seconde voie qu'il faut savoir conduire : elle ne suppose aucune majoration explicite de l'intégrale, et elle s'adapte aux cas où le calcul du a) n'est pas disponible.

d) L'exemple du cosinus. Prenons $f=\cos (b\cdot )$, qui est continue et bornée par $1$. Pour $x>0$, passons en complexes : $\cos (bt)=\mathrm{Re}\left(e^{ibt}\right)$, donc $${\int }_0^{+\infty }\cos (bt)e^{-xt}\mathrm{d}t=\mathrm{Re}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-(x-ib)t}\mathrm{d}t=\mathrm{Re}{\left[\frac{e^{-(x-ib)t}}{-(x-ib)}\right]}_0^{+\infty }=\mathrm{Re}\frac{1}{x-ib},$$ le crochet en $+\infty$ étant nul car $\left|e^{-(x-ib)t}\right|=e^{-xt}\to 0$. En multipliant par le conjugué : $$\mathcal{L}(\cos (b\cdot ))(x)=\mathrm{Re}\frac{x+ib}{x^2+b^2}=\frac{x}{x^2+b^2}.$$ Cette fonction est bien continue sur $]0,+\infty [$ et tend vers $0$ en $+\infty$ (elle est équivalente à $\frac{1}{x}$) : les conclusions générales sont vérifiées.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe du paragraphe sur les intégrales à paramètre : on ne domine jamais sur l'ouvert, on domine sur tout segment ou sur tout intervalle adapté à la situation — ici $[a,+\infty [$ avec la dominante $M{e}^{-at}$ —, puis on recolle en faisant varier $a$. Et la limite d'une intégrale à paramètre s'obtient par la version « famille à paramètre réel » de la convergence dominée, pas par un calcul. La transformée de Laplace elle-même est l'une des transformées intégrales que le programme cite en exemple ; on vient d'établir ses deux propriétés de base sans jamais expliciter $f$.