Le cas positif, la roue de secours, et le rêve de l'étudiant

Les deux théorèmes, et le réflexe. Le cours en donne deux. Cas positif : si les $f_n$ sont continues par morceaux, positives, intégrables sur $I$, si $\sum f_n$ converge simplement et si sa somme est continue par morceaux, alors ${\int }_I\sum f_n=\sum {\int }_I{f}_n$ dans $[0,+\infty ]$ — sans aucune autre vérification. Cas des signes variables : il faut de plus ${\sum }_n{\int }_I|f_n|<+\infty$. D'où le réflexe : positif, tout est permis ; signes variables, on vérifie la sommabilité — et si elle échoue, on passe à la roue de secours du b).

a) L'intégrale de Planck, cas positif.

Nature. En $0^{+}$, $e^t-1\sim t$ donc $\frac{t}{e^t-1}\to 1$ : faux problème. En $+\infty$, $\frac{t}{e^t-1}\sim t{e}^{-t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ : intégrable. L'intégrale converge.

Le développement. Pour $t>0$, on a $e^{-t}\in ]0,1[$, donc la série géométrique de raison $e^{-t}$ converge et $$\frac{t}{e^t-1}=\frac{t{e}^{-t}}{1-e^{-t}}=t{e}^{-t}\sum _{k\ge 0}{e}^{-kt}=\sum _{n=1}^{+\infty }t{e}^{-nt}.$$

L'échange. Les fonctions $f_n(t)=t{e}^{-nt}$ sont continues, positives et intégrables sur $]0,+\infty [$ ; la série converge simplement, de somme $\frac{t}{e^t-1}$, continue. Le théorème du cas positif s'applique immédiatement. Reste à calculer chaque terme : avec $u=nt$, $${\int }_0^{+\infty }t{e}^{-nt}\mathrm{d}t=\frac{1}{n^2}{\int }_0^{+\infty }u{e}^{-u}\mathrm{d}u=\frac{1}{n^2},$$ puisque ${\int }_0^{+\infty }u{e}^{-u}\mathrm{d}u=1$ (intégration par parties, ou $\Gamma (2)=1!=1$). D'où $${\int }_0^{+\infty }\frac{t}{e^t-1}\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,644934.$$ (C'est l'intégrale du rayonnement du corps noir de Planck : le cadre positif a rendu l'échange gratuit.)