Le « rêve de l'étudiant »

Stratégie. Écrire $t^{-t}=e^{-t\ln t}$ et développer l'exponentielle. Sur $]0,1[$ on a $-t\ln t>0$ : tous les termes du développement sont positifs, ce qui autorise le théorème d'intégration terme à terme dans sa version positive, sans vérification préalable. Reste alors à calculer ${\int }_0^1{t}^n(-\ln t{)}^n\mathrm{d}t$, ce que fait un changement de variable qui ramène à la fonction $\Gamma$.

Étape 0 — l'intégrale converge (et c'est un faux problème). Pour $t\in ]0,1[$, $t^{-t}=e^{-t\ln t}$. Or $t\ln t\to 0$ quand $t\to 0^{+}$ (croissances comparées), donc $t^{-t}\to e^0=1$ : l'intégrande se prolonge par continuité en $0$ par la valeur $1$, et vaut $1$ en $t=1$. C'est donc l'intégrale d'une fonction continue sur le segment $[0,1]$ : elle converge, et sa valeur est comprise entre $1$ et ${\max }_{[0,1]}{t}^{-t}=e^{1/e}\approx 1,4447$.

Étape 1 — le développement, tous termes positifs. Pour $t\in ]0,1[$, posons $x=-t\ln t>0$ (car $\ln t<0$). La série exponentielle converge pour tout réel : $$t^{-t}=e^x=\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}=\sum _{n\ge 0}{f}_n(t),f_n(t)=\frac{t^n(-\ln t{)}^n}{n!}.$$ Chaque $f_n$ est continue et positive sur $]0,1[$, et la série converge simplement vers $t\mapsto t^{-t}$, continue.

Étape 2 — le calcul de ${\int }_0^1{t}^n(-\ln t{)}^n\mathrm{d}t$. Posons $$u=-(n+1)\ln t,\text{c’est-aˋ-dire}t=e^{-u/(n+1)}.$$ C'est une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$, strictement décroissante, de $]0,1[$ sur $]0,+\infty [$ (quand $t$ croît de $0$ à $1$, $u$ décroît de $+\infty$ à $0$), avec $$\mathrm{d}t=-\frac{1}{n+1}{e}^{-u/(n+1)}\mathrm{d}u,t^n=e^{-nu/(n+1)},(-\ln t{)}^n=\frac{u^n}{(n+1{)}^n}.$$ Le théorème de changement de variable (bijection monotone ${\mathcal{C}}^1$ entre intervalles ouverts) s'applique ; l'inversion des bornes compense le signe de $\mathrm{d}t$, et l'on obtient, en regroupant $e^{-nu/(n+1)}{e}^{-u/(n+1)}=e^{-u}$ : $${\int }_0^1{t}^n(-\ln t{)}^n\mathrm{d}t=\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}\mathrm{d}u=\frac{\Gamma (n+1)}{(n+1{)}^{n+1}}=\frac{n!}{(n+1{)}^{n+1}}.$$ Cette intégrale eulérienne converge (exercice résolu sur $\Gamma$), donc chaque $f_n$ est intégrable, avec $${\int }_0^1{f}_n=\frac{1}{n!}\cdot \frac{n!}{(n+1{)}^{n+1}}=\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}.$$

Étape 3 — l'interversion, et à quel titre. On invoque le théorème d'intégration terme à terme, cas positif : les $f_n$ sont continues, positives, intégrables sur $]0,1[$, et $\sum f_n$ converge simplement vers une fonction continue. La conclusion vaut dans $[0,+\infty ]$ : $${\int }_0^1{t}^{-t}\mathrm{d}t=\sum _{n\ge 0}{\int }_0^1{f}_n=\sum _{n\ge 0}\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}=\sum _{m\ge 1}\frac{1}{m^m},$$ soit, en reconnaissant $\frac{1}{m^m}=m^{-m}$ : $$\boxed{{\int }_0^1{t}^{-t}\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{+\infty }{n}^{-n}.}$$ La somme est finie ($m^{-m}\le 2^{-m}$ dès $m\ge 2$), ce qui valide a posteriori la finitude annoncée à l'étape 0.

Le point délicat — deux signes. Ils se compensent tous les deux, et il faut les traiter séparément sous peine de trouver le résultat au signe près, ou une intégrale divergente :

• $-\ln t>0$ sur $]0,1[$ : c'est ce qui rend les $f_n$ positives et autorise le théorème positif (la version générale exigerait $\sum \int |f_n|<+\infty$, c'est-à-dire exactement $\sum \frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}<+\infty$ — le même travail) ;
• le changement de variable est décroissant : $\mathrm{d}t$ porte un signe $-$, que l'inversion des bornes $(+\infty \to 0)$ annule.

Contrôle numérique. Le lemme d'abord :

$n$	${\int }_0^1{t}^n(-\ln t{)}^n\mathrm{d}t$	$\frac{n!}{(n+1{)}^{n+1}}$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0,25$	$\frac{1}{4}=0,25$
$2$	$0,074074074074$	$\frac{2}{27}=0,074074074074$
$3$	$0,0234375$	$\frac{6}{256}=0,0234375$
$6$	$8,7427128881\cdot 10^{-4}$	$\frac{720}{823543}=8,7427128881\cdot 10^{-4}$

Puis l'identité elle-même, les deux membres calculés indépendamment (quadrature à haute précision d'un côté, sommation de la série de l'autre) : $${\int }_0^1{t}^{-t}\mathrm{d}t=1,2912859970626635404,\sum _{n\ge 1}{n}^{-n}=1,2912859970626635404.$$ Les vingt chiffres coïncident. Noter que la série converge extrêmement vite ($n^{-n}$ : $1$ ; $0,25$ ; $0,037037$ ; $0,0039063$ ; $0,00032$ ; …) : la somme des sept premiers termes vaut $1,2912859348$, à $6,2\cdot 10^{-8}$ de la valeur exacte — sept termes suffisent pour sept décimales. Le résultat est aussi joli qu'utile numériquement.

Acquis. Le schéma est celui de l'exercice précédent, poussé d'un cran : développement d'une exponentielle au lieu d'une série géométrique, et lemme ${\int }_0^1{t}^n(-\ln t{)}^k\mathrm{d}t=\frac{k!}{(n+1{)}^{k+1}}$ (le calcul ci-dessus avec $k$ à la place du second $n$). La même méthode donne ${\int }_0^1{t}^t\mathrm{d}t={\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^n}$ — mais là les termes alternent, et il faut alors la version générale du théorème, avec vérification de $\sum \int |f_n|<+\infty$.