mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 8 · Exercice classique

Le « rêve de l'étudiant »

Intégration sur un intervalle quelconque · C. Convergence dominée et intégration terme à terme · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Le « rêve de l'étudiant » : montrer que $\int_{0}^{1} t^{- t} d t = n = 1 \sum + \infty n^{- n}$ ( $t^{- t} = e^{- t l n t} = \sum \frac{( - t l n t ) ^{n}}{n !}$ , termes positifs sur $] 0, 1 [$ ; pour $\int_{0}^{1} t^{n} (- ln t)^{n} d t$ , poser $u = - (n + 1) ln t$ : on trouve $\frac{n !}{( n + 1 ) ^{n + 1}}$ via $Γ$ , d'où le terme $\frac{1}{( n + 1 ) ^{n + 1}}$ ).

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

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