Les factorielles par récurrence

Intégration sur un intervalle quelconque · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Montrer que pour tout $n \in N$ : $\int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t = n!$ .

Corrigé

Intégrabilité : $t^{n} e^{- t} = o (1/ t^{2})$ en $+ \infty$ . Posons $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t$ . Intégration par parties, avec crochet $[- t^{n} e^{- t}]_{0}^{+ \infty} = 0$ pour $n \geq 1$ (limites finies, nulles aux deux bornes) : $I_{n} = n \int_{0}^{+ \infty} t^{n - 1} e^{- t} d t = n I_{n - 1},$ et $I_{0} = 1$ : par récurrence, $I_{n} = n!$ . (C'est $Γ (n + 1) = n!$ : la fonction $Γ$ de l'exercice 8 interpole la factorielle — première intégrale eulérienne du chapitre.)

Énoncé

Corrigé

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