Les intégrales de Frullani

1) Le recouvrement. Sur le segment $[\epsilon ,X]$, l'intégrande est continu : il n'y a aucun problème de convergence, et l'on peut séparer par linéarité en ${\int }_{\epsilon }^X\frac{f(at)}{t}\mathrm{d}t-{\int }_{\epsilon }^X\frac{f(bt)}{t}\mathrm{d}t$. (Cette séparation serait illégitime sur $]0,+\infty [$, où chacune des deux intégrales diverge en général : c'est pourquoi on travaille sur un segment et qu'on ne passe à la limite qu'à la fin.) Dans la première, posons $u=at$, bijection affine croissante de classe ${\mathcal{C}}^1$ : $\frac{\mathrm{d}t}{t}=\frac{\mathrm{d}u}{u}$, et les bornes deviennent $a\epsilon ,aX$ ; de même pour la seconde avec $u=bt$ : $${\int }_{\epsilon }^X\frac{f(at)}{t}\mathrm{d}t={\int }_{a\epsilon }^{aX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u,{\int }_{\epsilon }^X\frac{f(bt)}{t}\mathrm{d}t={\int }_{b\epsilon }^{bX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u.$$ En retranchant, et par Chasles — les deux intervalles $[a\epsilon ,aX]$ et $[b\epsilon ,bX]$ se recouvrent sur $[b\epsilon ,aX]$ dès que $\epsilon$ est petit et $X$ grand —, la partie commune disparaît et il reste les deux morceaux des extrémités : $${\int }_{\epsilon }^X\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t={\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u-{\int }_{aX}^{bX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u.$$ C'est tout le mécanisme de l'exercice : deux intégrales presque identiques, dont la différence ne garde que les bords.

2) Le morceau du bas. Écrivons $f(u)=f(0)+(f(u)-f(0))$ et séparons : $${\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u=f(0){\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{\mathrm{d}u}{u}+{\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{f(u)-f(0)}{u}\mathrm{d}u.$$ Le premier terme vaut exactement $f(0)(\ln (b\epsilon )-\ln (a\epsilon ))=f(0)\ln \frac{b}{a}$, indépendamment de $\epsilon$ : c'est la raison profonde pour laquelle le résultat final ne dépend que du rapport $\frac{b}{a}$. Le second se majore : $$\left|{\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{f(u)-f(0)}{u}\mathrm{d}u\right|\le \left(\underset{u\in [a\epsilon ,b\epsilon ]}{\sup }|f(u)-f(0)|\right){\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{\mathrm{d}u}{u}=\ln \frac{b}{a}\cdot \underset{[a\epsilon ,b\epsilon ]}{\sup }|f-f(0)|.$$ Quand $\epsilon \to 0^{+}$, l'intervalle $[a\epsilon ,b\epsilon ]$ se contracte vers $0$ et, par continuité de $f$ en $0$, ce sup tend vers $0$. Donc $${\int }_{a\epsilon }^{b\epsilon }\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u⟶f(0)\ln \frac{b}{a}.$$

3) Le morceau du haut. Même découpage, avec $L$ à la place de $f(0)$ : le terme principal vaut encore $L\ln \frac{b}{a}$, et le reste est majoré en valeur absolue par $\ln \frac{b}{a}\cdot {\sup }_{u\ge aX}|f(u)-L|$, qui tend vers $0$ quand $X\to +\infty$ par définition de la limite $L$. Donc la limite vaut $L\ln \frac{b}{a}$.

4) La conclusion, et la question de l'intégrabilité. En faisant tendre $\epsilon$ vers $0^{+}$ et $X$ vers $+\infty$ dans le 1), les deux limites existent, donc l'intégrale généralisée converge et $${\int }_0^{+\infty }\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t=(f(0)-L)\ln \frac{b}{a}.$$ La valeur ne dépend que des deux valeurs extrêmes de $f$ — rien de ce qui se passe entre les deux n'intervient.

L'intégrande est-il intégrable ? En $0$, la question 2 donne mieux qu'une convergence : la majoration y porte sur une valeur absolue, et si $f$ est de plus dérivable en $0$, l'intégrande tend vers $(a-b)f^{\prime }(0)$ — la borne $0$ est alors un faux problème. En $+\infty$, en revanche, rien ne le garantit : la démonstration n'a manipulé que des intégrales partielles, et l'hypothèse « $f$ a une limite » ne dit rien de la vitesse à laquelle cette limite est atteinte. La question 6 en donne l'exemple extrême, avec $f=\cos$ : l'intégrale converge alors que la valeur absolue de l'intégrande n'est pas intégrable — exactement comme à l'exercice 1.

5) Deux applications.

L'exponentielle : $f=t\mapsto e^{-t}$ est continue avec $f(0)=1$ et $L=0$, donc ${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\mathrm{d}t=\ln \frac{b}{a}$. (Contrôle de vraisemblance : $a<b$ donne $e^{-at}>e^{-bt}$, l'intégrande est positif, et $\ln \frac{b}{a}>0$ ; ici l'intégrande est de surcroît intégrable, borné en $0$ et à décroissance exponentielle.)

L'arctangente : $f=\arctan$ est continue avec $f(0)=0$ et $L=\frac{\pi }{2}$, donc $${\int }_0^{+\infty }\frac{\arctan (at)-\arctan (bt)}{t}\mathrm{d}t=\left(0-\frac{\pi }{2}\right)\ln \frac{b}{a}=-\frac{\pi }{2}\ln \frac{b}{a},$$ négatif comme l'intégrande, puisque $a<b$ donne $\arctan (at)<\arctan (bt)$.

6) Le cas du cosinus. La fonction $\cos$ n'a pas de limite en $+\infty$ : l'hypothèse de la question 3 est en défaut, et le théorème tel qu'énoncé ne s'applique pas. Mais regardons ce dont la démonstration a réellement besoin : uniquement que ${\int }_{aX}^{bX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u$ tende vers une limite quand $X\to +\infty$. Or $${\int }_{aX}^{bX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u={\int }_1^{bX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u-{\int }_1^{aX}\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u.$$ Il suffit donc que ${\int }_1^X\frac{f(u)}{u}\mathrm{d}u$ ait une limite finie quand $X\to +\infty$ : les deux termes tendent alors vers la même limite et leur différence vers $0$. C'est l'hypothèse de remplacement. Pour $f=\cos$, elle est vérifiée : l'intégration par parties de l'exercice 1, appliquée à $\frac{\cos u}{u}$, montre que ${\int }_1^X\frac{\cos u}{u}\mathrm{d}u$ a une limite finie. La conclusion devient alors, avec $\cos 0=1$ et un morceau du haut de limite nulle : $${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos (at)-\cos (bt)}{t}\mathrm{d}t=\ln \frac{b}{a}.$$ (Et l'intégrande n'est pas intégrable en $+\infty$ : $\cos (at)-\cos (bt)=-2\sin \frac{(a+b)t}{2}\sin \frac{(a-b)t}{2}$ oscille sans s'amortir, et la minoration par paquets de l'exercice 1 s'applique de la même manière. Convergence sans intégrabilité, une fois de plus.)

Ce que l'exercice installe. Le geste « Chasles $+$ changement de variable » dans sa forme la plus pure : deux intégrales qui se recouvrent, dont la différence ne garde que les bords. Retenir la conduite complète — travailler sur un segment $[\epsilon ,X]$ où tout est licite, ne séparer qu'à cet endroit, et ne passer à la limite qu'à la fin —, et retenir la forme du résultat : $(f(0)-L)\ln \frac{b}{a}$, une valeur qui ne dépend que des deux extrémités et du rapport des paramètres. Retenir enfin la question 6 : quand une hypothèse manque, on regarde ce dont la démonstration se sert réellement, et l'on remplace l'hypothèse par ce qui suffit.