mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Problème — L'intégrale de Gauss et la transformée de la gaussienne

Intégration sur un intervalle quelconque · D. Intégrales à paramètre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Montrer que $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est intégrable sur $R$ , et poser $I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ . Pourquoi aucune primitive élémentaire ne permet-elle de conclure ?

2) Soit $F (x) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t ^{2}} d t$ . Montrer que $F$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ et que $F^{'} (x) = - 2 x \int_{0}^{1} e^{- x^{2} (1 + t^{2})} d t$ .

3) Soit $G (x) = (\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t)^{2}$ . Calculer $G^{'} (x)$ , puis montrer, par le changement de variable $u = x t$ , que $F^{'} + G^{'} = 0$ .

4) Calculer $F (0) + G (0)$ , montrer que $F (x) \to 0$ en $+ \infty$ , et conclure que $I = \frac{π}{2}$ .

5) En déduire $\int_{0}^{+ \infty} e^{- x t^{2}} d t = \frac{1}{x} \cdot \frac{π}{2}$ pour $x > 0$ , puis $Γ (\frac{1}{2}) = π$ .

6) Soit $H (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} cos (x t) d t$ . Montrer que $H$ est de classe $C^{1}$ , puis que $H^{'} (x) = - \frac{x}{2} H (x)$ , et conclure. Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

1) L'intégrabilité, et l'obstacle. La fonction $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est continue et positive sur $R$ . Pour $∣ t ∣ \geq 1$ , on a $t^{2} \geq ∣ t ∣$ , donc $e^{- t^{2}} \leq e^{- ∣ t ∣}$ , qui est intégrable sur $] - \infty, - 1]$ et sur $[1, + \infty [$ ; sur le segment $[- 1, 1]$ , la fonction est continue. Elle est donc intégrable sur $R$ , et par parité $\int_{R} e^{- t^{2}} d t = 2 I$ .

Pourquoi aucune primitive. La fonction $e^{- t^{2}}$ n'admet aucune primitive exprimable à l'aide des fonctions usuelles — c'est un théorème de Liouville, hors programme, mais le fait est incontournable en pratique. Toute la difficulté du problème vient de là : il faut obtenir la valeur d'une intégrale dont on ne peut pas écrire la primitive. La stratégie est donc de mettre l'intégrale en famille : fabriquer une fonction du paramètre $x$ dont la dérivée, elle, soit calculable.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Soit $F (x) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t ^{2}} d t$ . Montrer que $F$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ et que $F^{'} (x) = - 2 x \int_{0}^{1} e^{- x^{2} (1 + t^{2})} d t$ .

Élève

Pour dériver sous l'intégrale, je calcule $\frac{\partial h}{\partial x} (x, t) = - 2 x e^{- x^{2} (1 + t^{2})}$ , mais le facteur $∣ x ∣$ me gêne pour trouver un majorant indépendant de $x$ sur tout $R$ .

Le caractère $C^{1}$ se vérifie localement. Sur quel type d'intervalle de valeurs de $x$ te suffit-il d'obtenir la domination, et pourquoi le fait que $t$ parcoure un segment simplifie-t-il beaucoup le choix du majorant ?

Élève

Sur des segments $[- b, b]$ : là, $2∣ x ∣$ est borné par $2 b$ et l'exponentielle par $1$ . Comme on intègre sur un segment, une constante est intégrable, donc elle peut servir de domination.

C'est cela. Quelles autres hypothèses du théorème de dérivation sous l'intégrale dois-tu encore vérifier, et comment passes-tu de chaque $[- b, b]$ à la conclusion sur $R$ tout entier ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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