Quand la sommabilité échoue — dominer les sommes partielles

Ici $f_n(x)=(-x{)}^n$ sur $[0,1[$ et $\sum {\int }_0^1|f_n|=\sum \frac{1}{n+1}=+\infty$ : le théorème d'intégration terme à terme ne s'applique pas. On passe par les sommes partielles : $$S_n(x)=\sum _{k=0}^n(-x{)}^k=\frac{1-(-x{)}^{n+1}}{1+x}\underset{n\to \infty }{\to }\frac{1}{1+x}(0\le x<1),|S_n(x)|\le \frac{2}{1+x}\le 2.$$ La constante $2$ est intégrable sur $[0,1]$ : la convergence dominée s'applique aux $S_n$ et $$\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}={\int }_0^1{S}_n(x)\mathrm{d}x\underset{n\to \infty }{\to }{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln 2.$$ (On retrouve la somme obtenue par Abel radial au chapitre 6 — et la leçon de méthode : quand $\sum \int |f_n|$ diverge, dominer les sommes partielles est la roue de secours officielle.)