Aucune probabilité uniforme sur $\mathbb{N}$

La stratégie. Tout se joue sur la nature d'une seule série. La question « existe-t-il une telle probabilité ? » devient, pour chaque famille de poids proposée, une question de convergence — et c'est là que l'infini dénombrable se sépare du fini.

a) Une probabilité sur $\mathbb{N}$ est exactement une distribution de masses. Les singletons $\{k\}$ sont deux à deux disjoints et leur réunion, dénombrable, est $\mathbb{N}$ tout entier. La $\sigma$-additivité donne donc $$1=P(\mathbb{N})=\sum _{k\in \mathbb{N}}P(\{k\})=\sum _{k\in \mathbb{N}}{p}_k.$$ Et pour toute partie $A$ de $\mathbb{N}$, la même $\sigma$-additivité donne $P(A)={\sum }_{k\in A}{p}_k$ : la probabilité est déterminée par ses masses. Réciproquement, le cours établit que toute famille de réels positifs de somme $1$ définit une unique probabilité sur $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. La correspondance est parfaite : probabilité sur un univers dénombrable $⟺$ famille positive de somme $1$.

b) L'uniforme n'existe pas. Supposons $P(\{k\})=c$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, avec $c\ge 0$ constante. Le a) impose ${\sum }_{k}c=1$. Or les sommes partielles valent $(n+1)c$ :

• si $c=0$, elles sont toutes nulles et la somme vaut $0\ne 1$ ;
• si $c>0$, elles tendent vers $+\infty$ et la somme vaut $+\infty \ne 1$.

Aucune valeur de $c$ ne convient : il n'existe pas de probabilité uniforme sur $\mathbb{N}$, ni sur aucun univers infini dénombrable, puisque le raisonnement ne dépend que de la dénombrabilité.

c) Le critère général. Supposons $p_k=\frac{c}{k}$ sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$, avec $c\ge 0$. Alors ${\sum }_{k\ge 1}{p}_k=c{\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k}$, et la série harmonique diverge : la somme vaut $0$ si $c=0$ et $+\infty$ si $c>0$, jamais $1$. Impossible également.

Le critère qui contient les deux cas : soit $(w_k)$ une famille de réels positifs ; il existe une probabilité de masses proportionnelles aux $w_k$ si et seulement si $$0<\sum _k{w}_k<+\infty ,$$ et la constante de normalisation est alors $c={\left({\sum }_k{w}_k\right)}^{-1}$, unique. Les poids $w_k=1$ et $w_k=\frac{1}{k}$ échouent tous deux par divergence ; en revanche $w_k=\frac{1}{k^2}$ convient, puisque ${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ : la loi de masses $p_k=\frac{6}{{\pi }^2{k}^2}$ est une probabilité sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$. La frontière est exactement l'exposant $1$ de Riemann.

Contrôle. $\frac{6}{{\pi }^2}=0,607927$ et $\frac{{\pi }^2}{6}=1,644934$ : leur produit vaut $1$. Et l'on mesure la lenteur de la divergence harmonique — la somme des $\frac{1}{k}$ jusqu'à un milliard vaut environ $21,3$ — sans que cela change rien : aucune borne, donc aucune normalisation possible.

d) Le point délicat — c'est la $\sigma$-additivité, pas l'additivité finie. Sur $\{1,\dots ,n\}$, l'équiprobabilité existe parfaitement, avec $c=\frac{1}{n}$ ; il n'y a aucune contradiction, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini de singletons à réunir. C'est en passant à une réunion dénombrable que la contrainte apparaît.

Et faire tendre $n$ vers l'infini ne construit rien : à $k$ fixé, $P_n(\{k\})=\frac{1}{n}\to 0$, et la limite des masses est la famille identiquement nulle, qui n'est pas une probabilité. La masse « fuit à l'infini », et c'est précisément ce que la $\sigma$-additivité interdit. (Il existe bien des fonctions d'ensembles « uniformes » sur $\mathbb{N}$ — la densité asymptotique $\lim \frac{|A\cap \{1,\dots ,n\}|}{n}$ —, mais elles ne sont définies que sur une partie de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ et ne sont pas $\sigma$-additives : ce ne sont pas des probabilités au sens du cours.)

Ce que l'exercice installe. « Tirer un entier au hasard uniformément » n'a aucun sens : la phrase, pourtant courante, ne désigne aucun objet mathématique. Toute probabilité sur un univers infini dénombrable est nécessairement non uniforme, et même beaucoup plus : puisque $\sum p_k=1$ converge, pour tout $\epsilon >0$ il existe une partie finie portant une masse au moins $1-\epsilon$. Une loi discrète est toujours essentiellement concentrée sur un ensemble fini — ce qui explique structurellement pourquoi les lois usuelles du chapitre, géométrique et Poisson, décroissent : elles n'ont pas le choix.