Combien de lancers pour estimer une pièce ?

a) Les deux premiers moments. $S_n$ est une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$, donc $S_n\sim \mathcal{B}(n,p)$, avec $E(S_n)=np$ et — les variables étant indépendantes, donc décorrélées — $V(S_n)=np(1-p)$. Par les formules $E(aX)=aE(X)$ et $V(aX)=a^{2}V(X)$ : $$E(F_n)=p,V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}.$$ L'estimateur est sans biais, et sa variance tend vers $0$ : c'est tout ce dont on a besoin.

b) De Markov à Tchebychev. L'inégalité de Markov : pour une variable aléatoire $Y$ positive d'espérance finie et $a>0$, $P(Y\ge a)\le \frac{E(Y)}{a}$. Appliquons-la à $Y=(F_n-p{)}^2$, qui est positive, et à $a={\epsilon }^2$ : $$P(|F_n-p|\ge \epsilon )=P((F_n-p{)}^2\ge {\epsilon }^2)\le \frac{E((F_n-p{)}^2)}{{\epsilon }^2}=\frac{V(F_n)}{{\epsilon }^2},$$ l'égalité des deux événements venant de ce que $x\mapsto x^2$ est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$, et la dernière égalité de la définition de la variance, $E(F_n)=p$. C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, et on vient de voir qu'elle n'est rien d'autre que Markov appliquée au carré de l'écart.

Avec le a) : $$P(|F_n-p|\ge \epsilon )\le \frac{p(1-p)}{n{\epsilon }^2}.$$ Reste à se débarrasser du $p$, qui est inconnu : le trinôme $p\mapsto p(1-p)$ atteint son maximum en $p=\frac{1}{2}$, où il vaut $\frac{1}{4}$. Donc $p(1-p)\le \frac{1}{4}$ pour tout $p\in [0,1]$, et $$P(|F_n-p|\ge \epsilon )\le \frac{1}{4n{\epsilon }^2}.$$ C'est tout l'intérêt de la majoration : la borne ne dépend plus de la quantité qu'on cherche à estimer, elle est donc utilisable en pratique.

c) Le nombre de lancers. On veut $\epsilon =0,01$ et un risque au plus $0,05$. Il suffit que $$\frac{1}{4n\times (0,01{)}^2}\le 0,05,\text{c’est-aˋ-dire}n\ge \frac{1}{4\times 10^{-4}\times 0,05}=\frac{10^4}{0,2}=50000.$$ Cinquante mille lancers garantissent que la fréquence observée est à moins de $1\%$ de $p$, avec une probabilité d'au moins $95\%$ — quel que soit $p$, et sans aucune hypothèse asymptotique.

Le cadre général. C'est exactement la loi faible des grands nombres : pour une suite de variables indépendantes de même loi et de variance finie, $P\left(\left|\frac{S_n}{n}-m\right|\ge \epsilon \right)\le \frac{V(X_1)}{n{\epsilon }^2}\to 0$. L'exercice n'en est qu'une version quantifiée, où l'on refuse de laisser $n$ tendre vers l'infini et où l'on demande un nombre.

d) Pourquoi les instituts annoncent moins. Pour $n=1000$, notre garantie à $95\%$ donne $$\epsilon =\frac{1}{\sqrt{4n\times 0,05}}=\frac{1}{\sqrt{200}}\approx 0,071,$$ soit une marge de $7\%$ — alors que les instituts annoncent environ $3\%$ pour un échantillon de mille personnes. Il n'y a pas d'erreur : leur marge repose sur une approximation de la loi de $F_n$ par une loi normale, c'est-à-dire sur le théorème central limite, qui est hors programme et dont la justification est de nature asymptotique. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, elle, est valable à $n$ fixé, pour toute loi de variance finie, sans aucune approximation : c'est ce qui la rend universelle, et c'est aussi ce qui la rend grossière. (Les inégalités de concentration exponentielles, hors programme elles aussi, donnent des nombres bien plus proches de la pratique.)

Ce que l'exercice installe. Une inégalité de concentration se construit en trois temps : calculer la variance, majorer ce qu'on ne connaît pas — ici $p(1-p)\le \frac{1}{4}$ —, appliquer Bienaymé-Tchebychev. Retenir que Tchebychev n'est que Markov appliquée au carré de l'écart, et retenir surtout la différence de nature : une inégalité explicite et non asymptotique, valable pour tout $n$, contre une approximation asymptotique plus fine mais qui ne garantit rien à $n$ fixé.