Deux lois de Poisson sachant leur somme : une binomiale

Stratégie : la définition du conditionnement, avec la stabilité de Poisson au dénominateur. Il n'y a qu'un calcul, celui de $\frac{P(X=k,X+Y=n)}{P(X+Y=n)}$. Le numérateur se factorise par indépendance ; le dénominateur exige de connaître la loi de $X+Y$, d'où le rappel préalable de la stabilité. Le miracle attendu est la disparition complète des exponentielles, qui laisse une loi binomiale.

1) Rappel : stabilité de la loi de Poisson. Le système $((X=k){)}_{0\le k\le n}$ découpe $(X+Y=n)$, donc

$$P(X+Y=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k,Y=n-k)\stackrel{\text{indeˊp.}}{=}\sum _{k=0}^n{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\mu }\frac{{\mu }^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{e^{-(\lambda +\mu )}}{n!}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\lambda }^k{\mu }^{n-k},$$

et la formule du binôme donne ${\sum }_k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\lambda }^k{\mu }^{n-k}=(\lambda +\mu {)}^n$. Donc

$$X+Y\sim \mathcal{P}(\lambda +\mu ),P(X+Y=n)=e^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu {)}^n}{n!}>0.$$

Cette stricte positivité, pour tout $n\in \mathbb{N}$, est ce qui donne un sens au conditionnement : l'événement conditionnant n'est jamais négligeable.

2) Le conditionnement. Soit $n\in \mathbb{N}$ fixé. Pour $k>n$, l'événement $(X=k)\cap (X+Y=n)$ est vide (car $X\le X+Y$ puisque $Y\ge 0$) : la probabilité conditionnelle est nulle. Pour $0\le k\le n$, l'événement $(X=k)\cap (X+Y=n)$ est exactement $(X=k)\cap (Y=n-k)$, et l'indépendance de $X$ et $Y$ donne

$$P(X=k\mid X+Y=n)=\frac{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(X+Y=n)}=\frac{\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}\cdot \frac{e^{-\mu }{\mu }^{n-k}}{(n-k)!}}{\frac{e^{-(\lambda +\mu )}(\lambda +\mu {)}^n}{n!}}.$$

3) Simplification. Les exponentielles disparaissent intégralement : $e^{-\lambda }{e}^{-\mu }=e^{-(\lambda +\mu )}$. Il reste les factorielles, qui se recomposent en un coefficient binomial :

$$P(X=k\mid X+Y=n)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{{\lambda }^k{\mu }^{n-k}}{(\lambda +\mu {)}^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right)}^k{\left(\frac{\mu }{\lambda +\mu }\right)}^{n-k}.$$

En posant $\pi =\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\in ]0,1[$, on reconnaît $1-\pi =\frac{\mu }{\lambda +\mu }$ et donc

$$(X\mid X+Y=n)\sim \mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right).$$

C'est bien une loi de probabilité : ${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\pi }^k(1-\pi {)}^{n-k}=1$ par le binôme. En particulier l'espérance conditionnelle vaut $n\pi =\frac{n\lambda }{\lambda +\mu }$ : sachant que $n$ événements se sont produits, on en attribue à $X$ une proportion $\pi$.

⚠️ Le point délicat : $\lambda$ a disparu du résultat. Seule subsiste la proportion $\pi =\frac{\lambda }{\lambda +\mu }$. Multiplier $\lambda$ et $\mu$ par un même facteur $10$ ne change rien à la loi conditionnelle, alors que cela change tout à la loi de $X$. Autrement dit : sachant le total, on a perdu toute information sur l'échelle, il ne reste que le partage. C'est la lecture profonde de l'exercice, et le pendant exact de l'amincissement de l'exercice précédent — là on partait d'un Poisson et on tirait au hasard, ici on part du total et l'on retrouve le tirage.

Contrôle chiffré. $\lambda =2$, $\mu =3$, $n=5$, donc $\pi =\frac{2}{5}=0,4$. On calcule d'une part le quotient brut du 2) (avec toutes les exponentielles), d'autre part la binomiale $\mathcal{B}(5;0,4)$ :

$k$	0	1	2	3	4	5
quotient $\frac{P(X=k)P(Y=5-k)}{P(X+Y=5)}$	0,07776	0,25920	0,34560	0,23040	0,07680	0,01024
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)0,4^{k}0,6^{5-k}$	0,07776	0,25920	0,34560	0,23040	0,07680	0,01024

Les deux lignes coïncident à la dernière décimale, et leur somme vaut exactement $1$. Vérification à la main d'une case : $k=2$ donne $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)0,4^{2}0,6^3=10\times 0,16\times 0,216=0,3456$. Espérance conditionnelle : $5\times 0,4=2$, ce que la ligne confirme ($0\times 0,07776+1\times 0,2592+2\times 0,3456+3\times 0,2304+4\times 0,0768+5\times 0,01024=2,00000$).

Ce que l'exercice installe. Les deux exercices précédents forment un couple : l'amincissement va d'un Poisson à deux Poisson indépendants ; le conditionnement par le total fait le chemin inverse et redonne un tirage binomial. Ensemble, ils disent qu'un modèle poissonnien sépare deux questions indépendantes : combien d'événements se produisent (loi de Poisson), et comment ils se répartissent entre les catégories (loi binomiale, ou multinomiale pour plus de deux catégories). C'est le fondement des tests d'homogénéité sur des données de comptage : on conditionne par le total observé, et l'analyse devient binomiale — le paramètre d'échelle, inconnu et gênant, s'est évanoui.