mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique

Variables aléatoires discrètes · B. Variables, lois, couples et indépendance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $N^{*}$ .

a) On suppose $X \sim G (p)$ . Montrer que pour tous $m, n \in N$ , $P (X > n + m ∣ X > n) = P (X > m)$ .

b) Réciproquement, on suppose que $X$ vérifie cette propriété et que $0 < P (X > 1) < 1$ . Montrer que $X$ suit une loi géométrique.

c) Que se passe-t-il si l'on retire l'hypothèse $0 < P (X > 1) < 1$ ?

d) Interpréter, et dire pourquoi cette propriété est propre à la loi géométrique parmi les lois sur $N^{*}$ .

Corrigé de la question 1

a) Le sens direct. Notons $q = 1 - p$ . Pour $X \sim G (p)$ , la queue se calcule d'abord : $(X > n)$ est l'événement « les $n$ premières épreuves sont des échecs », donc $P (X > n) = q^{n},$ ce qu'on peut aussi obtenir en sommant la série géométrique $\sum_{k > n} p q^{k - 1}$ . Comme $(X > n + m) \subset (X > n)$ , l'intersection est $(X > n + m)$ et, $P (X > n) = q^{n}$ étant non nul, $P (X > n + m ∣ X > n) = \frac{P ( X > n + m )}{P ( X > n )} = \frac{q ^{n + m}}{q ^{n}} = q^{m} = P (X > m) .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Réciproquement, on suppose que $X$ vérifie cette propriété et que $0 < P (X > 1) < 1$ . Montrer que $X$ suit une loi géométrique.

Élève

Je voudrais obtenir $P (X = k)$ directement à partir de la propriété, mais elle ne porte que sur des événements $(X > n)$ et je n'arrive pas à faire apparaître les probabilités ponctuelles.

Plutôt que de viser les masses tout de suite, travaille avec la quantité que la propriété relie naturellement. Si tu poses $u_{n} = P (X > n)$ , comment se traduit l'hypothèse ?

Élève

Elle devient $u_{n + m} = u_{n} u_{m}$ , à condition que $u_{n} \neq = 0$ pour que la probabilité conditionnelle ait un sens. Je ne sais pas encore comment garantir cette condition.

Bonne remarque sur la condition. Que donne la relation pour $m = 1$ en partant de $u_{0}$ , comment cette récurrence règle-t-elle au passage la question de la non-nullité, et comment remontes-tu ensuite aux $P (X = k)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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