L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique

a) Le sens direct. Notons $q=1-p$. Pour $X\sim \mathcal{G}(p)$, la queue se calcule d'abord : $(X>n)$ est l'événement « les $n$ premières épreuves sont des échecs », donc $$P(X>n)=q^n,$$ ce qu'on peut aussi obtenir en sommant la série géométrique ${\sum }_{k>n}p{q}^{k-1}$. Comme $(X>n+m)\subset (X>n)$, l'intersection est $(X>n+m)$ et, $P(X>n)=q^n$ étant non nul, $$P(X>n+m\mid X>n)=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}=\frac{q^{n+m}}{q^n}=q^m=P(X>m).$$

b) La réciproque, par une équation fonctionnelle. Posons $u_n=P(X>n)$ pour $n\in \mathbb{N}$, de sorte que $u_0=P(X>0)=1$ puisque $X$ est à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$. L'hypothèse s'écrit, pour tous $m,n$ tels que $u_n\ne 0$, $$\frac{u_{n+m}}{u_n}=u_m,\text{c’est-aˋ-dire}{u}_{n+m}=u_n{u}_m.$$ (La condition $u_n\ne 0$ est automatique : posons $q=u_1\in ]0,1[$ par hypothèse ; la relation avec $m=1$ donne $u_{n+1}=u_{n}q$, et une récurrence immédiate à partir de $u_0=1$ donne $u_n=q^n\ne 0$.)

Donc $P(X>n)=q^n$ pour tout $n$, et les masses s'en déduisent : pour $k\ge 1$, $$P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)=q^{k-1}-q^k=q^{k-1}(1-q).$$ C'est exactement la loi $\mathcal{G}(1-q)$ : $X$ est géométrique de paramètre $p=1-q=P(X=1)$.

Le point de méthode. L'absence de mémoire est une équation fonctionnelle sur les queues, et c'est la version discrète de l'équation de Cauchy multiplicative $f(x+y)=f(x)f(y)$. On ne cherche jamais à travailler sur les masses $P(X=k)$ : ce sont les queues qui se multiplient.

c) Les cas dégénérés. Si $P(X>1)=0$, alors $X=1$ presque sûrement : la propriété est vérifiée trivialement, et la loi n'est géométrique qu'au sens dégénéré $p=1$. Si $P(X>1)=1$, alors $u_1=1$ et la récurrence donne $u_n=1$ pour tout $n$ : $P(X>n)=1$ pour tout $n$, c'est-à-dire $P(X\le n)=0$ — aucune valeur finie n'est atteinte, et une telle variable à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ n'existe pas, puisque ${\sum }_{k}P(X=k)$ vaudrait $0$ au lieu de $1$. L'hypothèse $0<P(X>1)<1$ écarte donc un cas trivial et un cas impossible.

d) L'interprétation. La pièce ne se souvient pas d'avoir échoué $n$ fois : sachant qu'on attend encore, le temps d'attente restant a exactement la même loi que le temps d'attente initial. C'est la propriété qui rend la géométrique si commode dans tous les problèmes d'attente : on peut « redémarrer le compteur » à tout instant sans changer la loi.

Et elle caractérise la géométrique : le b) montre que toute loi sur ${\mathbb{N}}^{\ast }$ sans mémoire est géométrique. Il n'y a donc qu'une seule loi d'attente sans mémoire sur les entiers — c'est l'analogue discret exact de la loi exponentielle pour le temps continu, que le programme laisse de côté puisque les variables à densité y sont hors sujet.

Ce que l'exercice installe. Deux réflexes. Travailler sur les queues $P(X>n)$ plutôt que sur les masses : elles se multiplient, elles se factorisent par indépendance, et elles déterminent la loi puisque $P(X=k)=P(X>k-1)-P(X>k)$. Et une équation fonctionnelle caractérise une loi : c'est la forme sous laquelle apparaissent la plupart des théorèmes de caractérisation en probabilités.