La loi de Poisson de bout en bout

${\sum }_k{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda }=1$ (série exponentielle, chapitre 6). Espérance par décalage d'indice : $$E(X)=\sum _{k\ge 1}k{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k\ge 1}\frac{{\lambda }^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda .$$ Enfin $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-e^{-\lambda }$. (Les trois gestes de base sur Poisson : normalisation, décalage d'indice, complémentaire.)