La loi des petits nombres

À $k$ fixé : $$P(X_n=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\left(\frac{\lambda }{n}{)}^k\right(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot (1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}.$$ Le premier facteur est un produit de $k$ termes tendant chacun vers $1$ ; le dernier vaut $e^{(n-k)\ln (1-\lambda /n)}\to e^{-\lambda }$ (car $(n-k)\ln (1-\frac{\lambda }{n})\sim -\lambda$). D'où la limite $e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$. (Beaucoup d'essais, chacun rare, en moyenne $\lambda$ succès : la binomiale devient Poisson. C'est le fondement pratique de la modélisation poissonienne des comptages.)