La loi géométrique de bout en bout

$P(X>n)={\sum }_{k>n}(1-p{)}^{k-1}p=(1-p{)}^{n}p{\sum }_{j\ge 0}(1-p{)}^j=(1-p{)}^n$ (géométrique). Donc, par la formule $E(X)={\sum }_{n\ge 1}P(X\ge n)$ : $$E(X)=\sum _{n\ge 1}P(X>n-1)=\sum _{n\ge 1}(1-p{)}^{n-1}=\frac{1}{p}.$$ (Aucune série dérivée : la formule des queues transforme le calcul en série géométrique pure — à essayer en premier pour toute variable à valeurs dans $\mathbb{N}$.)