Méthode du second moment : minorer P(X>0)

Stratégie : faire apparaître un produit là où il n'y en a pas. Le membre de gauche est une probabilité, le membre de droite ne fait intervenir que des moments : le pont entre les deux ne peut être que l'inégalité de Cauchy-Schwarz, à condition de voir $X$ comme un produit de deux variables. Toute l'astuce tient en une ligne : $X$ étant positive, $X$ et $X{1}_{(X>0)}$ sont la même variable. Cauchy-Schwarz appliqué à ce produit fait apparaître $E(1_{(X>0)}^2)$, et une indicatrice étant idempotente, cette quantité est la probabilité cherchée.

1) L'identité de départ. $X$ est à valeurs $\ge 0$. Sur l'événement $(X>0)$, l'indicatrice vaut $1$ et $X{1}_{(X>0)}=X$ ; sur $(X=0)$, l'indicatrice vaut $0$ et $X{1}_{(X>0)}=0=X$. Donc, en tout point de $\Omega$ (identité entre variables aléatoires, pas seulement presque sûre) :

$$X=X{1}_{(X>0)}.$$

2) Cauchy-Schwarz. On a $X\in L^2$ par hypothèse, et $1_{(X>0)}\in L^2$ puisqu'elle est bornée ($E(1^2)\le 1<+\infty$). Le théorème de Cauchy-Schwarz du cours s'applique au couple $(X,1_{(X>0)})$ :

$$E(X{1}_{(X>0)}{)}^2\le E(X^2)E(1_{(X>0)}^2).$$

Par le 1), le membre de gauche est $E(X{)}^2$ — et $E(X)$ est bien défini, car $L^2\subset L^1$ (cours).

3) L'indicatrice est idempotente. Une indicatrice ne prend que les valeurs $0$ et $1$, donc $1_{(X>0)}^2=1_{(X>0)}$, et

$$E\left(1_{(X>0)}^2\right)=E\left(1_{(X>0)}\right)=P(X>0).$$

En reportant : $E(X{)}^2\le E(X^2)P(X>0)$.

4) Division. $X$ est non nulle, c'est-à-dire $P(X>0)>0$. Alors $E(X^2)>0$ : sinon, $X^2\ge 0$ d'espérance nulle serait nulle presque sûrement (caractérisation de l'espérance nulle, cours), donc $X$ aussi, contradiction. On peut donc diviser :

$$P(X>0)\ge \frac{E(X{)}^2}{E(X^2)}.$$

⚠️ Le point délicat est l'étape 3. Sans la remarque « $1^2=1$ », on écrit $E(1_{(X>0)}^2)$ sans savoir l'évaluer, et l'inégalité reste stérile. C'est exactement cette quantité qui produit la probabilité cherchée : toute la démonstration consiste à faire porter Cauchy-Schwarz par l'indicatrice plutôt que par $X$ toute seule. Second point à ne pas escamoter : l'hypothèse « $X$ non nulle » ne sert pas à faire joli, elle garantit $E(X^2)>0$, sans quoi le quotient n'a pas de sens.

5) Le cas d'égalité. L'égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut (cours) à la colinéarité presque sûre de $X$ et $1_{(X>0)}$, c'est-à-dire à l'existence de $a>0$ tel que $X=a{1}_{(X>0)}$ presque sûrement : la borne est atteinte exactement pour les variables « tout ou rien », qui valent $a$ ou $0$.

Contrôle chiffré.

loi de $X$	$E(X)$	$E(X^2)$	borne $\frac{E(X{)}^2}{E(X^2)}$	$P(X>0)$	verdict
$X=7$ avec prob. $\frac{1}{7}$, $0$ sinon	1	7	0,142857	0,142857	égalité
$\mathcal{P}(0,1)$	0,1	0,11	0,090909	0,095163	serrée
$\mathcal{P}(1)$	1	2	0,500000	0,632121
$\mathcal{P}(5)$	5	30	0,833333	0,993262	lâche
uniforme sur $\{0,1,2,3\}$	1,5	3,5	0,642857	0,750000

La première ligne réalise l'égalité, comme le prévoit le 5) : c'est une variable tout ou rien. Pour $\mathcal{P}(\lambda )$, on a $E(X^2)=V+E^2=\lambda +{\lambda }^2$, donc la borne vaut $\frac{\lambda }{\lambda +1}$, à comparer à la valeur exacte $1-e^{-\lambda }$ : en $\lambda =0,1$, $0,0909\le 0,0952$ (borne serrée à moins de $5\%$), en $\lambda =5$, $0,833\le 0,993$ (borne très lâche). La méthode est d'autant meilleure que la probabilité à minorer est petite — et c'est précisément le régime dans lequel on l'emploie.

Ce que l'exercice installe. Cette inégalité est le pendant par en bas de l'inégalité de Markov. Markov majore : $P(X\ge a)\le \frac{E(X)}{a}$. Le second moment minore : $P(X>0)\ge \frac{E(X{)}^2}{E(X^2)}$. Le schéma d'emploi est toujours le même — pour montrer qu'un objet aléatoire existe avec une probabilité non négligeable, on construit un compteur $X\ge 0$ de ses occurrences (une somme d'indicatrices, comme dans l'exercice sur les points fixes), on calcule $E(X)$ par linéarité et $E(X^2)$ par les covariances, et l'inégalité fait le reste. C'est l'outil de base de la méthode probabiliste sur les graphes aléatoires : existence d'un triangle, d'une grande clique, d'un couplage parfait.