Pile ou face infini : presque sûrement une infinité de piles

Ce que l'exercice demande vraiment. Aucun de ces événements n'est élémentaire : ce sont des événements asymptotiques, qui portent sur la suite infinie tout entière. La méthode est invariable : les écrire à partir d'événements simples par réunion ou intersection dénombrable, puis appliquer la continuité monotone — c'est le seul outil du chapitre qui franchisse l'infini.

a) Aucun pile. Notons $N_n=\overline{A_1}\cap \cdots \cap \overline{A_n}$ l'événement « les $n$ premiers lancers donnent face ». Par indépendance, $$P(N_n)=(1-p{)}^n.$$ L'événement « aucun pile », $N={\bigcap }_{n\ge 1}\overline{A_n}$, est l'intersection de la suite décroissante $(N_n)$ : $N_{n+1}\subset N_n$ et $N={\bigcap }_n{N}_n$. La continuité décroissante donne $$P(N)=\underset{n\to +\infty }{\lim }P(N_n)=\underset{n\to +\infty }{\lim }(1-p{)}^n=0,$$ puisque $0<1-p<1$. L'événement « aucun pile » est négligeable. (Il n'est pas vide : la suite « que des faces » existe bel et bien. Négligeable ne veut pas dire impossible — c'est la première distinction que l'infini impose.)

b) Un nombre fini de piles. Si l'on n'obtient qu'un nombre fini de piles, il existe un rang $N$ à partir duquel il n'y a plus que des faces. Notons $F_N={\bigcap }_{n>N}\overline{A_n}$ l'événement « aucun pile après le rang $N$ ». Alors $$\{\text{un nombre fini de piles}\}=\bigcup _{N\ge 0}{F}_N,$$ réunion dénombrable. Chaque $F_N$ est négligeable : le raisonnement du a), appliqué à la suite des lancers $N+1,N+2,\dots$ qui sont indépendants de même loi, donne $P(F_N)={\lim }_n(1-p{)}^n=0$. Or une réunion dénombrable d'événements négligeables est négligeable — c'est la sous-additivité dénombrable : $P\left({\bigcup }_N{F}_N\right)\le {\sum }_{N}P(F_N)=0$. Donc $$P(\text{un nombre fini de piles})=0,$$ et l'événement contraire, « une infinité de piles », est presque sûr.

c) Les deux à la fois. Le b) appliqué à la pièce de paramètre $1-p$ — c'est-à-dire en échangeant les rôles de pile et face, ce que l'hypothèse $p\in ]0,1[$ autorise — montre que « une infinité de faces » est presque sûr. Or une intersection finie (et même dénombrable) d'événements presque sûrs est presque sûre : le complémentaire est une réunion de négligeables. Donc, presque sûrement, la suite contient une infinité de piles et une infinité de faces.

d) Un motif donné apparaît. Découpons la suite en blocs de deux lancers consécutifs : $B_k$ = « les lancers $2k-1$ et $2k$ donnent tous deux pile », pour $k\ge 1$. Ces événements portent sur des lancers disjoints, donc ils sont indépendants, et $P(B_k)=p^2$. Alors, pour tout $K$, $$P\left(\bigcap _{k=1}^K\overline{B_k}\right)=(1-p^2{)}^K\underset{K\to +\infty }{\to }0,$$ puisque $0<1-p^2<1$. Par continuité décroissante, $P\left({\bigcap }_{k\ge 1}\overline{B_k}\right)=0$ : presque sûrement, l'un des blocs est « pile pile », donc le motif apparaît. (On a délibérément ignoré les occurrences à cheval sur deux blocs : on cherche une minoration de la probabilité d'apparition, et négliger des occasions ne peut que la diminuer. Le même argument montre que tout motif fini fixé apparaît presque sûrement, et même une infinité de fois.)

Le point délicat. Il faut découper en blocs disjoints pour disposer de l'indépendance. Les événements « le motif commence au rang $n$ », eux, ne sont pas indépendants — celui qui commence au rang $1$ et celui qui commence au rang $2$ partagent un lancer —, et l'on ne pourrait pas multiplier les probabilités.

Ce que l'exercice installe. Trois gestes, et trois seulement, permettent de franchir l'infini : la continuité décroissante pour une intersection de suites décroissantes, la continuité croissante pour une réunion croissante, et la sous-additivité dénombrable pour dire qu'une réunion dénombrable de négligeables est négligeable. Retenir aussi la distinction : négligeable n'est pas impossible, presque sûr n'est pas certain — la suite « que des faces » existe, elle est simplement de probabilité nulle. Le problème final reposera exactement sur la continuité croissante.