Sommes aléatoires et formule de Wald

a) La composition. Soit $t\in [0,1]$. Le système $((N=n){)}_{n\in \mathbb{N}}$ est quasi-complet, et la formule des probabilités totales donne, pour tout $k$, $$P(S=k)=\sum _{n\ge 0}P(N=n)P(X_1+\cdots +X_n=k),$$ où l'on a utilisé l'indépendance de $N$ et de la suite : sachant $(N=n)$, la somme $X_1+\cdots +X_N$ est $X_1+\cdots +X_n$, dont la loi n'est pas modifiée par le conditionnement. Multiplions par $t^k$ et sommons sur $k$ : $$G_S(t)=\sum _{k\ge 0}{t}^k\sum _{n\ge 0}P(N=n)P(X_1+\cdots +X_n=k)=\sum _{n\ge 0}P(N=n)\sum _{k\ge 0}P(X_1+\cdots +X_n=k)t^k.$$ L'interversion des deux sommes est licite parce que tous les termes sont positifs pour $t\in [0,1]$ : c'est la sommation par paquets d'une famille sommable, acquise au chapitre des familles sommables. Or la somme intérieure est la fonction génératrice de $X_1+\cdots +X_n$, somme de $n$ variables indépendantes de même loi, qui vaut $(G_X(t){)}^n$ d'après le cours. Donc $$G_S(t)=\sum _{n\ge 0}P(N=n)(G_X(t){)}^n=G_N(G_X(t)),$$ la dernière égalité par définition de $G_N$, licite puisque $G_X(t)\in [0,1]$ quand $t\in [0,1]$. $G_S=G_N\circ G_X$.

b) La formule de Wald. Le cours établit l'équivalence : une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$ est d'espérance finie si et seulement si sa fonction génératrice est dérivable en $1$, et alors l'espérance vaut $G^{\prime }(1)$.

Supposons $N$ et $X_1$ d'espérance finie : $G_N$ et $G_X$ sont donc dérivables en $1$, avec $G_N^{\prime }(1)=E(N)$ et $G_X^{\prime }(1)=E(X_1)$. Comme $G_X(1)=1$, la composée $G_S=G_N\circ G_X$ est dérivable en $1$ — il s'agit de dérivées à gauche, la composition restant licite puisque $G_X$ est croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$ et envoie $1$ sur $1$ —, et la règle de dérivation en chaîne donne $$G_S^{\prime }(1)=G_N^{\prime }(G_X(1))\cdot G_X^{\prime }(1)=G_N^{\prime }(1)G_X^{\prime }(1)=E(N)E(X_1).$$ Par l'équivalence rappelée, $S$ est d'espérance finie et $$E(S)=E(N)E(X_1).$$ (Exemple : un standard reçoit $N$ appels, en moyenne $\lambda$, chacun durant en moyenne $m$ minutes indépendamment du nombre d'appels ; le temps total moyen d'occupation vaut $\lambda m$.)

c) Une somme aléatoire de Bernoulli. Prenons $N\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $X_i$ de Bernoulli de paramètre $p$. Alors $G_X(t)=1-p+pt$ et $G_N(s)=e^{\lambda (s-1)}$, donc $$G_S(t)=e^{\lambda \left((1-p+pt)-1\right)}=e^{\lambda p(t-1)},$$ qui est la fonction génératrice de la loi $\mathcal{P}(\lambda p)$. La fonction génératrice déterminant la loi, on conclut : $S\sim \mathcal{P}(\lambda p)$.

C'est exactement le résultat de l'exercice 5 — l'amincissement d'une loi de Poisson —, obtenu ici en trois lignes au lieu d'un calcul de loi conjointe : compter les éclosions, c'est additionner $N$ variables de Bernoulli. (La méthode des génératrices ne donne toutefois pas l'indépendance de $X$ et $N-X$, qui était l'autre moitié de l'exercice 5 : chaque outil a son domaine.)

d) Pourquoi pas le conditionnement. La démonstration « naturelle » consisterait à écrire $E(S)=E(E(S\mid N))=E(NE(X_1))=E(N)E(X_1)$. Mais la notion d'espérance conditionnelle est explicitement hors programme en MP et en MPI : elle n'a pas de sens dans le cours, et cette rédaction serait irrecevable. D'où le détour par les génératrices — qui a d'ailleurs l'avantage de donner bien plus que l'espérance, puisqu'il donne la loi de $S$ tout entière.

(Une seconde voie, elle aussi légitime, consiste à écrire directement $E(S)={\sum }_{n}P(N=n)E(X_1+\cdots +X_n)={\sum }_{n}P(N=n)nE(X_1)=E(N)E(X_1)$, l'interversion étant licite par positivité — mais elle suppose de savoir justifier l'échange, et elle ne donne que l'espérance.)

Ce que l'exercice installe. La fonction génératrice transforme : une somme d'un nombre fixe de variables indépendantes en produit, une somme d'un nombre aléatoire de variables indépendantes en composée. Retenir la hiérarchie des outils : les génératrices donnent la loi, donc tout ; la linéarité de l'espérance donne l'espérance, sans aucune hypothèse ; et l'espérance conditionnelle, qui serait le raccourci naturel, n'appartient pas au programme. Le problème qui suit ne fait qu'itérer la composition établie ici.