mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Sommes aléatoires et formule de Wald

Variables aléatoires discrètes · E. Fonctions génératrices · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $(X_{i})_{i \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, à valeurs dans $N$ , et $N$ une variable à valeurs dans $N$ indépendante de cette suite. On pose $S = X_{1} + \dots + X_{N}$ , avec $S = 0$ si $N = 0$ .

a) Montrer que $G_{S} = G_{N} \circ G_{X}$ , où $G_{X}$ désigne la fonction génératrice commune aux $X_{i}$ .

b) En déduire la formule de Wald : si $N$ et $X_{1}$ sont d'espérance finie, alors $E (S) = E (N) E (X_{1})$ .

c) Application : si $N \sim P (λ)$ et si les $X_{i}$ suivent une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , quelle est la loi de $S$ ?

d) Pourquoi ne démontre-t-on pas la formule de Wald en conditionnant par $N$ ?

Corrigé de la question 1

a) La composition. Soit $t \in [0, 1]$ . Le système $((N = n))_{n \in N}$ est quasi-complet, et la formule des probabilités totales donne, pour tout $k$ , $P (S = k) = n \geq 0 \sum P (N = n) P (X_{1} + \dots + X_{n} = k),$ où l'on a utilisé l'indépendance de $N$ et de la suite : sachant $(N = n)$ , la somme $X_{1} + \dots + X_{N}$ est $X_{1} + \dots + X_{n}$ , dont la loi n'est pas modifiée par le conditionnement. Multiplions par $t^{k}$ et sommons sur $k$ : $G_{S} (t) = k \geq 0 \sum t^{k} n \geq 0 \sum P (N = n) P (X_{1} + \dots + X_{n} = k) = n \geq 0 \sum P (N = n) k \geq 0 \sum P (X_{1} + \dots + X_{n} = k) t^{k} .$ L'interversion des deux sommes est licite parce que tous les termes sont positifs pour $t \in [0, 1]$ : c'est la sommation par paquets d'une famille sommable, acquise au chapitre des familles sommables. Or la somme intérieure est la fonction génératrice de $X_{1} + \dots + X_{n}$ , somme de $n$ variables indépendantes de même loi, qui vaut $(G_{X} (t))^{n}$ d'après le cours. Donc $G_{S} (t) = n \geq 0 \sum P (N = n) (G_{X} (t))^{n} = G_{N} (G_{X} (t)),$ la dernière égalité par définition de $G_{N}$ , licite puisque $G_{X} (t) \in [0, 1]$ quand $t \in [0, 1]$ . $G_{S} = G_{N} \circ G_{X}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En déduire la formule de Wald : si $N$ et $X_{1}$ sont d'espérance finie, alors $E (S) = E (N) E (X_{1})$ .

Élève

Je veux dériver $G_{S} = G_{N} \circ G_{X}$ en $1$ , mais $1$ est au bord de l'intervalle où ces séries convergent à coup sûr, et je ne sais pas si la dérivation d'une composée s'applique là.

En $1$ , il s'agit de dérivées à gauche, et la règle de composition reste valable si la fonction intérieure approche son point d'arrivée par le bon côté. Que sais-tu des valeurs de $G_{X}$ sur $[0, 1]$ et de $G_{X} (1)$ ?

Élève

$G_{X}$ est croissante, à valeurs dans $[0, 1]$ , et $G_{X} (1) = 1$ : donc $G_{X} (t)$ tend vers $1$ par valeurs inférieures. Et la dérivabilité de $G_{N}$ et $G_{X}$ en $1$ viendrait des espérances finies.

Oui, par l'équivalence du cours entre espérance finie et dérivabilité en $1$ . Une fois $G_{S}^{'} (1)$ calculée, qu'est-ce qui t'autorise à affirmer que $S$ est d'espérance finie, et pas seulement à écrire une formule ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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