Stabilité de la loi de Poisson

Par convolution (probabilités totales sur $(X=j)$) : $$P(X+Y=n)=\sum _{j=0}^{n}P(X=j)P(Y=n-j)=e^{-\lambda -\mu }\sum _{j=0}^n\frac{{\lambda }^j}{j!}\frac{{\mu }^{n-j}}{(n-j)!}=e^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu {)}^n}{n!}$$ (binôme de Newton). Par génératrices : $G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t)=e^{\lambda (t-1)}{e}^{\mu (t-1)}=e^{(\lambda +\mu )(t-1)}$, qui est la génératrice de $\mathcal{P}(\lambda +\mu )$ ; la loi étant déterminée par la génératrice, c'est fini. (Deux lignes contre cinq : la génératrice est l'outil roi des sommes indépendantes.)