Des projecteurs de somme $id$ découpent l'espace

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La linéarité de la trace, la proposition « trace d'un projecteur » ($\mathrm{tr}p=\mathrm{rg}p$), le théorème d'inégalité des dimensions et son cas d'égalité, et le fait qu'un projecteur est l'identité sur son image.

La stratégie. L'hypothèse est une égalité d'endomorphismes. La trace, qui est linéaire, la transforme en une égalité de nombres ; et comme la trace d'un projecteur est son rang, ces nombres sont des dimensions. C'est l'inégalité des dimensions qui conclura. Aucun calcul en coordonnées n'intervient.

a) La somme vaut $E$, et le décompte. Pour tout $x\in E$, $x={\mathrm{id}}_E(x)={\sum }_{i=1}^k{p}_i(x)$, et chaque $p_i(x)$ appartient à $\mathrm{Im}(p_i)$ : donc $E={\sum }_i\mathrm{Im}(p_i)$. Ensuite, la trace étant une forme linéaire, $$n=\mathrm{tr}({\mathrm{id}}_E)=\sum _{i=1}^k\mathrm{tr}(p_i)=\sum _{i=1}^k\mathrm{rg}(p_i),$$ la dernière égalité venant de la proposition « trace d'un projecteur », qui s'applique puisque chaque $p_i$ est un projecteur.

b) La somme est directe. Le a) donne à la fois $\dim \left({\sum }_i\mathrm{Im}(p_i)\right)=\dim E=n$ et ${\sum }_i\dim \mathrm{Im}(p_i)=n$. C'est le cas d'égalité du théorème d'inégalité des dimensions : la somme est directe, et $E=\mathrm{Im}(p_1)\oplus \cdots \oplus \mathrm{Im}(p_k)$.

c) Les composées croisées sont nulles. Fixons $j$ et $x\in \mathrm{Im}(p_j)$. Un projecteur est l'identité sur son image : si $x=p_j(y)$, alors $p_j(x)=p_j^2(y)=p_j(y)=x$. En appliquant l'hypothèse à ce $x$ : $$x=\sum _{i=1}^k{p}_i(x)=x+\sum _{i\ne j}{p}_i(x),$$ donc ${\sum }_{i\ne j}{p}_i(x)=0$. Chaque $p_i(x)$ appartient à $\mathrm{Im}(p_i)$, et la somme des $\mathrm{Im}(p_i)$ est directe d'après le b) : la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale, donc $p_i(x)=0$ pour tout $i\ne j$. Ceci valant pour tout $x\in \mathrm{Im}(p_j)$, c'est-à-dire pour tout $x$ de la forme $p_j(y)$, on obtient $p_i\circ p_j=0$ dès que $i\ne j$.

Le point délicat. L'ordre des étapes compte : la nullité des composées croisées n'est pas une hypothèse, c'est une conséquence de la somme directe — et celle-ci vient de la trace. Sans le décompte des dimensions, on ne saurait rien de $p_i\circ p_j$.

d) La réciproque. Si $E=F_1\oplus \cdots \oplus F_k$, tout $x$ s'écrit de façon unique $x=x_1+\cdots +x_k$ avec $x_i\in F_i$, et le projecteur $p_i$ est l'application $x\mapsto x_i$. Alors ${\sum }_i{p}_i(x)={\sum }_i{x}_i=x$ : ${\sum }_i{p}_i={\mathrm{id}}_E$. Et pour $i\ne j$, le vecteur $p_j(x)=x_j$ a pour décomposition $0+\cdots +x_j+\cdots +0$ ; sa composante sur $F_i$ est nulle, donc $p_i(p_j(x))=0$.

Ce que l'exercice installe. Un dictionnaire complet : se donner des projecteurs de somme l'identité, c'est se donner une décomposition de $E$ en somme directe, et réciproquement. La trace est l'outil qui fait passer d'une égalité d'endomorphismes à une égalité de dimensions. En mécanique quantique, c'est la « relation de fermeture » : la somme des projecteurs sur les sous-espaces propres d'une observable vaut l'identité, et ces projecteurs vérifient $p_i{p}_j=0$ — on vient de voir que la seconde propriété découle de la première.