Différences divisées et erreur d'interpolation

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème « base de Lagrange et coordonnées » — tout $P\in {\mathbb{K}}_n[X]$ s'écrit $P={\sum }_{i}P(x_i)L_i$ —, le fait qu'un polynôme non nul de degré au plus $n$ a au plus $n$ racines, les relations entre coefficients et racines, le théorème de Rolle et la formule de Taylor-Young (première année).

a) Le coefficient dominant se lit sur les valeurs. Chaque $L_i=\frac{1}{w_i}{\prod }_{j\ne i}(X-x_j)$ est de degré exactement $n$, et son coefficient de $X^n$ vaut $\frac{1}{w_i}$. L'application « coefficient de $X^n$ » est une forme linéaire sur ${\mathbb{K}}_n[X]$ ; appliquée à l'égalité $P={\sum }_{i}P(x_i)L_i$, elle donne $$\left[\text{coefficient de }{X}^n\text{ dans }P\right]=\sum _{i=0}^{n}P(x_i)\cdot \frac{1}{w_i}=\sum _{i=0}^n\frac{P(x_i)}{w_i}.$$

b) Les polynômes $X^k$. Pour $0\le k\le n$, le polynôme $X^k$ appartient à ${\mathbb{K}}_n[X]$, et son coefficient de $X^n$ vaut $0$ si $k<n$ et $1$ si $k=n$. Donc la somme ${\sum }_i\frac{x_i^k}{w_i}$ vaut $0$ pour $0\le k\le n-1$, et $1$ pour $k=n$. Une somme de $n+1$ fractions, en général toutes non nulles, qui s'annule identiquement : c'est le contenu, surprenant, de la formule.

Vérification sur $(x_0,x_1,x_2)=(0,1,2)$. Ici $w_0=(0-1)(0-2)=2$, $w_1=(1-0)(1-2)=-1$ et $w_2=(2-0)(2-1)=2$. Pour $k=0$ : $\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$ ; pour $k=1$ : $0-1+1=0$ ; pour $k=2$ : $0-1+2=1$.

c) L'exposant $n+1$. Ici $X^{n+1}$ n'appartient pas à ${\mathbb{K}}_n[X]$ et le a) ne s'applique pas directement : c'est le point délicat. On se ramène à ${\mathbb{K}}_n[X]$ en retranchant le polynôme unitaire $\Pi ={\prod }_{i=0}^n(X-x_i)$, de degré $n+1$ : le polynôme $R=X^{n+1}-\Pi$ est de degré au plus $n$, et $R(x_i)=x_i^{n+1}$ puisque $\Pi (x_i)=0$. Le a) appliqué à $R$ donne $$\left[\text{coefficient de }{X}^n\text{ dans }R\right]=\sum _{i=0}^n\frac{x_i^{n+1}}{w_i}.$$ Or, d'après les relations entre coefficients et racines, $\Pi =X^{n+1}-\left({\sum }_i{x}_i\right)X^n+\dots$, donc le coefficient de $X^n$ dans $R$ vaut ${\sum }_i{x}_i$. D'où ${\sum }_i\frac{x_i^{n+1}}{w_i}=x_0+x_1+\cdots +x_n$. (Contrôle sur $(0,1,2)$ : $0-1+\frac{8}{2}=3=0+1+2$.)

d) Une dérivée moyenne. La fonction $g=f-P_f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $[x_0,x_n]$ et s'annule aux $n+1$ points $x_0<x_1<\cdots <x_n$. Le théorème de Rolle, appliqué sur chacun des $n$ segments $[x_i,x_{i+1}]$, fournit $n$ zéros de $g^{\prime }$, un dans chaque intervalle ouvert, donc deux à deux distincts et tous dans $\left]x_0,x_n\right[$. En réappliquant Rolle entre deux zéros consécutifs de $g^{\prime }$, on obtient $n-1$ zéros distincts de $g^{\prime \prime }$ ; et ainsi de suite : par récurrence, pour $1\le k\le n$, la dérivée $g^{(k)}$ possède au moins $n+1-k$ zéros distincts dans $\left]x_0,x_n\right[$. Pour $k=n$, il existe $\xi \in \left]x_0,x_n\right[$ tel que $g^{(n)}(\xi )=0$.

Or $P_f$ est de degré au plus $n$, de coefficient de $X^n$ égal à $f[x_0,\dots ,x_n]$ : sa dérivée $n$-ième est la constante $n!f[x_0,\dots ,x_n]$. Donc $0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-n!f[x_0,\dots ,x_n]$, ce qui est l'égalité voulue. La différence divisée est une dérivée moyenne : pour $n=1$, $f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f^{\prime }(\xi )$, et l'on reconnaît l'égalité des accroissements finis.

e) La formule de l'erreur. Soit $Q\in {\mathbb{R}}_{n+1}[X]$ le polynôme qui interpole $f$ aux $n+2$ points distincts $x_0,\dots ,x_n,x$. Le polynôme $Q-P_f$ est de degré au plus $n+1$ et s'annule aux $n+1$ points $x_0,\dots ,x_n$ : il est divisible par ${\prod }_{i=0}^n(X-x_i)$, qui est de degré $n+1$, donc de la forme $c{\prod }_{i=0}^n(X-x_i)$ avec $c$ constante. En comparant les coefficients de $X^{n+1}$ — celui de $P_f$ est nul —, $c$ est le coefficient de $X^{n+1}$ de $Q$, c'est-à-dire, d'après le a) appliqué aux $n+2$ points, $c=f[x_0,\dots ,x_n,x]$. En évaluant en $x$, où $Q(x)=f(x)$ : $$f(x)-P_f(x)=f[x_0,\dots ,x_n,x]\prod _{i=0}^n(x-x_i).$$ Enfin, la formule qui définit une différence divisée ne dépend pas de l'ordre des points : on peut ranger les $n+2$ points dans l'ordre croissant et appliquer le d) avec $n+1$ à la place de $n$. La fonction $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur $I$, qui contient le plus petit et le plus grand de ces points, il existe $\xi$ strictement entre eux — donc dans $I$ — tel que $f[x_0,\dots ,x_n,x]=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$. D'où la formule de l'erreur d'interpolation.

f) Contrôles. L'exponentielle aux nœuds $0$, $1$, $2$. Avec $w_0=2$, $w_1=-1$ et $w_2=2$ : $$f[0,1,2]=\frac{1}{2}-\mathrm{e}+\frac{{\mathrm{e}}^2}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^2-2\mathrm{e}+1}{2}=\frac{(\mathrm{e}-1{)}^2}{2}.$$ Le d) annonce $\xi \in \left]0,2\right[$ tel que $\frac{{\mathrm{e}}^{\xi }}{2}=\frac{(\mathrm{e}-1{)}^2}{2}$, soit ${\mathrm{e}}^{\xi }=(\mathrm{e}-1{)}^2$ et $\xi =2\ln (\mathrm{e}-1)\approx 1,083$ — qui est bien dans $\left]0,2\right[$.

Le phénomène de Runge. La formule du e) fournit une majoration : pour $x\in I$, $$|f(x)-P_f(x)|\le \frac{{\sup }_I|f^{(n+1)}|}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n|x-x_i|.$$ Pour l'exponentielle sur $[-1,1]$, chaque facteur $|x-x_i|$ est au plus $2$ et $|f^{(n+1)}|\le \mathrm{e}$ : l'erreur est au plus $\mathrm{e}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}$, qui tend vers $0$ — la factorielle l'emporte sur la puissance. Pour $f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$, en revanche, les dérivées successives sont énormes. Au voisinage de $0$, le développement de $\frac{1}{1+u}$ avec $u=25x^2$ donne $f(x)={\sum }_{k=0}^m(-25x^2{)}^k+o\left(x^{2m}\right)$, et par unicité du développement limité, la formule de Taylor-Young identifie les coefficients : $\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}=(-25{)}^k$. Ainsi, lorsque $n+1=2k$ est pair, $\frac{|f^{(n+1)}(0)|}{(n+1)!}=25^k=5^{n+1}$ : le premier facteur de la majoration est au moins $5^{n+1}$, et il croît plus vite que la factorielle ne l'avait fait décroître. La formule de l'erreur reste vraie, mais elle ne force plus l'erreur à être petite : rien n'interdit la dégradation observée, $0,43$ pour $n=5$ puis $1,92$ pour $n=10$. C'est le phénomène de Runge : pour certaines fonctions, augmenter le nombre de nœuds équidistants détériore l'interpolation, surtout près des bords de l'intervalle.

Ce que l'exercice installe. Le coefficient dominant de l'interpolateur est une forme linéaire lue sur les valeurs ; le théorème de Rolle itéré en fait une dérivée moyenne ; un nœud ajouté donne la formule de l'erreur. C'est le fondement de l'analyse numérique de l'interpolation — et l'avertissement de Runge vaut aussi au laboratoire : on ne fait pas passer un polynôme de haut degré par des points de mesure équidistants.