mathématiques (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le déterminant par blocs quand deux blocs commutent

Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · F. Déterminants par blocs, Vandermonde et interpolation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A, B, C, D \in M_{n} (K)$ et $M = (A C B D) \in M_{2 n} (K) .$

a) On suppose $C D = D C$ et $D$ inversible. Montrer que $det M = det (A D - B C)$ . (Multiplier $M$ à droite par $(D - C 0 I_{n})$ .)

b) Montrer par un exemple que l'hypothèse $C D = D C$ ne peut pas être retirée.

c) Un élève propose la formule $det M = det A det D - det B det C$ . La réfuter avec $A = D = I_{2}$ , $B = (0010)$ , $C = (0100)$ , et vérifier que la formule du a) donne, elle, la bonne valeur.

d) On ne suppose plus $D$ inversible, mais seulement $C D = D C$ . Pour $t \in K$ , on pose $D_{t} = D - t I_{n}$ . Justifier que $C D_{t} = D_{t} C$ et que $D_{t}$ est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de $t$ (utiliser un polynôme annulateur non nul de $D$ ). En considérant les deux membres comme des fonctions polynomiales de $t$ , montrer que la formule $det M = det (A D - B C)$ reste vraie.

e) (Contrôle.) Vérifier la formule pour $A = (1324)$ , $B = (52 - 1 7)$ , $C = (2032)$ et $D = (0010)$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le produit par blocs de tailles compatibles, le théorème du déterminant triangulaire par blocs, la multiplicativité du déterminant, le développement selon une ligne ou une colonne, et l'existence d'un polynôme annulateur non nul pour toute matrice carrée : la famille $(I_{n}, D, D^{2}, \dots, D^{n^{2}})$ compte $n^{2} + 1$ éléments de $M_{n} (K)$ , qui est de dimension $n^{2}$ , donc elle est liée, et une relation de liaison non triviale est un polynôme annulateur non nul.

La stratégie. Le programme ne donne qu'un théorème de calcul par blocs, celui du cas triangulaire. Il faut donc fabriquer un bloc nul : on multiplie $M$ par une matrice par blocs choisie pour annuler le coin inférieur gauche.

a) La formule. Posons $N = (D - C 0 I_{n})$ . Le produit par blocs donne $M N = (A D - B C C D - D C B D) = (A D - B C 0 B D),$ la nullité du bloc inférieur gauche étant exactement l'hypothèse $C D = D C$ . Les matrices $N$ et $M N$ sont triangulaires par blocs, donc $det N = det D \cdot det I_{n} = det D$ et $det (M N) = det (A D - B C) det D$ . Par multiplicativité, $det M det D = det (A D - B C) det D$ ; comme $det D \neq = 0$ , on simplifie : $det M = det (A D - B C) .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer par un exemple que l'hypothèse $C D = D C$ ne peut pas être retirée.

Élève

Je cherche un contre-exemple avec $D$ inversible et $C D \neq = D C$ . J'ai essayé des matrices prises au hasard, mais calculer un déterminant $4 \times 4$ est long et je ne sais pas comment m'orienter.

Prends des blocs très simples, avec beaucoup de zéros, et vise une matrice $M$ dont le déterminant se lit sans calcul. Quelle disposition des lignes de $M$ rendrait $det M$ évident ?

Élève

Deux lignes égales : alors $det M = 0$ . Il faudrait en plus que $det (A D - B C)$ soit non nul, pour que la formule soit en défaut.

C'est une bonne stratégie. Avec pour $D$ une matrice de permutation, et des blocs $A$ , $B$ , $C$ réduits à un coefficient non nul, comment répartir ces coefficients pour que deux lignes de $M$ coïncident, tout en gardant $C D \neq = D C$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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