Problème : le déterminant circulant, et l'inversion de Fourier discrète

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les polynômes de matrices et la règle $(PQ)(A)=P(A)Q(A)$, le déterminant de Vandermonde, la multiplicativité du déterminant, et les racines $n$-ièmes de l'unité (première année) : les ${\omega }^k$, pour $0\le k\le n-1$, sont deux à deux distincts, ${\omega }^n=1$, et ${\omega }^m\ne 1$ pour tout entier $m$ non multiple de $n$.

La stratégie. Tout repose sur une identité de produits, $JF=F\Omega$ : elle dit que la multiplication par $J$, vue à travers $F$, devient la multiplication par une matrice diagonale. Comme $C$ est un polynôme en $J$, elle hérite de cette propriété, et son déterminant se lit sur une diagonale.

1) $J$ décale, et $C=P(J)$. La ligne $j$ de $J$, numérotée de $0$ à $n-1$, porte un unique $1$, en colonne $j+1$ — en colonne $0$ pour la dernière ligne. Donc $$JY={}^t\left(y_1,y_2,\dots ,y_{n-1},y_0\right):$$ $J$ décale les coordonnées d'un cran, de façon circulaire. En itérant, $J^{k}Y$ est décalé de $k$ crans : $(J^{k}Y{)}_j=y_{j+k}$, l'indice étant lu modulo $n$. Pour $k=n$, on retrouve $Y$ : $J^{n}Y=Y$ pour toute colonne $Y$, donc $J^n=I_n$.

Pour $0\le k\le n-1$, la matrice $J^k$ porte donc des $1$ exactement aux positions $(j,j+k)$, modulo $n$. Or le coefficient de $C$ en position $(j,l)$ est $a_{l-j}$, l'indice étant lu modulo $n$ : c'est ce que dit « chaque ligne se déduit de la précédente par un décalage d'un cran vers la droite ». Donc $C={\sum }_{k=0}^{n-1}{a}_k{J}^k=P(J)$.

2) L'identité $JF=F\Omega$. Le coefficient $(j,k)$ de $JF$ est, d'après le 1) appliqué à la colonne $k$ de $F$, le coefficient $(j+1,k)$ de $F$, soit ${\omega }^{(j+1)k}$ — y compris pour $j=n-1$, où l'on lit la ligne $0$, puisque ${\omega }^{nk}=1$. Le coefficient $(j,k)$ de $F\Omega$ vaut ${\omega }^{jk}\cdot {\omega }^k$, car multiplier à droite par une matrice diagonale multiplie la colonne $k$ par ${\omega }^k$. Les deux coïncident : $JF=F\Omega$.

Par récurrence, $J^{k+1}F=J\left(J^{k}F\right)=JF{\Omega }^k=F\Omega {\Omega }^k=F{\Omega }^{k+1}$. Enfin, par linéarité, $$CF=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{J}^{k}F=F\sum _{k=0}^{n-1}{a}_k{\Omega }^k=FP(\Omega ),$$ et $P(\Omega )=\mathrm{diag}(P(1),P(\omega ),\dots ,P({\omega }^{n-1}))$, puisque les puissances d'une matrice diagonale se calculent coefficient par coefficient.

3) Le déterminant circulant. La ligne $j$ de $F$ est $(1,{\omega }^j,({\omega }^j{)}^2,\dots ,({\omega }^j{)}^{n-1})$ : $F$ est la matrice de Vandermonde des $n$ points $1,\omega ,\dots ,{\omega }^{n-1}$. Ces points sont deux à deux distincts, donc $\det F\ne 0$ : $F$ est inversible. En prenant le déterminant des deux membres de $CF=FP(\Omega )$ : $$\det C\det F=\det F\det P(\Omega )=\det F\prod _{k=0}^{n-1}P\left({\omega }^k\right),$$ et l'on simplifie par $\det F\ne 0$ : $$\det C=\prod _{k=0}^{n-1}P\left({\omega }^k\right).$$ Un produit est non nul si et seulement si chacun de ses facteurs l'est : $C$ est inversible si et seulement si $P$ ne s'annule en aucune racine $n$-ième de l'unité.

4) L'inversion de Fourier discrète. Comme $|\omega |=1$, on a $\overline{\omega }={\omega }^{-1}$, et le coefficient $(j,l)$ de $\overline{F}F$ vaut $$\sum _{k=0}^{n-1}\overline{{\omega }^{jk}}{\omega }^{kl}=\sum _{k=0}^{n-1}{\omega }^{k(l-j)}.$$ Si $l=j$, chaque terme vaut $1$ et la somme vaut $n$. Si $l\ne j$, le nombre ${\omega }^{l-j}$ est différent de $1$, car $0<|l-j|<n$, et la somme géométrique vaut $$\frac{{\omega }^{n(l-j)}-1}{{\omega }^{l-j}-1}=\frac{1-1}{{\omega }^{l-j}-1}=0.$$ Donc $\overline{F}F=n{I}_n$, c'est-à-dire $\left(\frac{1}{n}\overline{F}\right)F=I_n$ : $F^{-1}=\frac{1}{n}\overline{F}$. En prenant les déterminants, $\det \overline{F}\det F=n^n$ ; or le déterminant de la matrice conjuguée est le conjugué du déterminant — il s'obtient par sommes et produits des coefficients, que la conjugaison respecte. Donc $|\det F{|}^2=n^n$, et $|\det F|=n^{n/2}$.

5) Le cas $n=3$. Avec la première ligne $(a,b,c)$ : $$C=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& a& b\\ b& c& a\end{array}\right),$$ et la règle de Sarrus donne $\det C=a^3+b^3+c^3-3abc$ : les trois produits « descendants » valent $a^3$, $b^3$, $c^3$, et les trois produits « montants » valent tous $abc$. D'autre part $P=a+bX+c{X}^2$ et $\omega =j$, et le 3) donne $\det C=P(1)P(j)P(j^2)$, avec $P(1)=a+b+c$, $P(j)=a+jb+j^{2}c$, et $P(j^2)=a+j^{2}b+j^{4}c=a+j^{2}b+jc$ puisque $j^3=1$. D'où la factorisation annoncée.

6) Le benzène. Dans ${\mathcal{M}}_6(\mathbb{R})$, $J^{-1}=J^5$ puisque $J^6=I_6$ ; la matrice $x{I}_6-H=x{I}_6-J-J^5$ est donc la matrice circulante associée au polynôme $x-X-X^5$, où $x$ est un paramètre réel. Le 3), avec $n=6$ et $\omega ={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}$, donne $$\det (x{I}_6-H)=\prod _{k=0}^5\left(x-{\omega }^k-{\omega }^{5k}\right)=\prod _{k=0}^5\left(x-2\cos \frac{k\pi }{3}\right),$$ car ${\omega }^{5k}={\omega }^{-k}=\overline{{\omega }^k}$, et ${\omega }^k+\overline{{\omega }^k}=2\cos \frac{2k\pi }{6}$. Les six valeurs de $2\cos \frac{k\pi }{3}$, pour $k=0,\dots ,5$, sont $2$, $1$, $-1$, $-2$, $-1$, $1$. D'où $$\det (x{I}_6-H)=(x-2)(x+2)(x-1{)}^2(x+1{)}^2.$$ Les énergies sont donc $\alpha +2\beta$, $\alpha +\beta$ (niveau double), $\alpha -\beta$ (niveau double) et $\alpha -2\beta$. Comme $\beta <0$, l'ordre croissant est $\alpha +2\beta <\alpha +\beta <\alpha -\beta <\alpha -2\beta$. Les six électrons occupent l'orbitale d'énergie $\alpha +2\beta$ (deux électrons) et les deux orbitales d'énergie $\alpha +\beta$ (quatre électrons) : $$E_{\pi }=2(\alpha +2\beta )+4(\alpha +\beta )=6\alpha +8\beta .$$ Trois liaisons $\pi$ localisées donneraient $3\times 2(\alpha +\beta )=6\alpha +6\beta$. La différence, $2\beta$, est négative : le benzène est plus stable que la molécule hypothétique à trois doubles liaisons figées. C'est l'énergie de délocalisation, la signature énergétique de l'aromaticité.

Le théorème obtenu : le déterminant circulant. Si $C$ est la matrice circulante de première ligne $(a_0,\dots ,a_{n-1})$ et $P={\sum }_k{a}_k{X}^k$, alors $\det C={\prod }_{k=0}^{n-1}P\left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}k\pi /n}\right)$ ; la matrice de Fourier $F=\left({\omega }^{jk}\right)$ vérifie $F^{-1}=\frac{1}{n}\overline{F}$, et $F^{-1}CF=P(\Omega )$ est diagonale.

Ce que le problème installe. Une identité de produits, $JF=F\Omega$, suffit à ramener une matrice à une matrice diagonale : toute circulante $C=P(J)$ vérifie $F^{-1}CF=P(\Omega )$. Au chapitre 2, on lira cette égalité comme une diagonalisation, les colonnes de $F$ étant des vecteurs propres communs à toutes les matrices circulantes. La matrice $F$ est celle de la transformée de Fourier discrète, que les physiciens emploient pour analyser un signal échantillonné ; son inverse est, au facteur $\frac{1}{n}$ près, sa conjuguée. Et le même calcul donne les niveaux d'énergie de toute molécule cyclique : c'est la méthode de Hückel pour les cycles.