mathématiques (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Réactions successives $A \to B \to C$ : les puissances par division euclidienne

Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · D. Polynômes d'endomorphismes et de matrices · niveau 2

Énoncé

On modélise la suite de réactions $A \to B \to C$ par pas de temps : à chaque pas, chaque molécule de $A$ se transforme en $B$ avec la probabilité $p \in] 0, 1 [$ , chaque molécule de $B$ en $C$ avec la même probabilité $p$ , et $C$ ne réagit plus. On pose $q = 1 - p$ . Les fractions $a_{n}$ , $b_{n}$ , $c_{n}$ de $A$ , $B$ , $C$ au pas $n$ vérifient $V_{n + 1} = M V_{n}$ , où $V_{n} = a_{n} b_{n} c_{n}, M = q p 0 0 q p 001, V_{0} = 100 .$

a) Calculer $(M - q I_{3})^{2}$ . Montrer que le polynôme $Π = (X - q)^{2} (X - 1)$ annule $M$ (on pourra remarquer que la ligne $L = (111)$ vérifie $L M = L$ ).

b) Pour $n \in N$ , soit $R_{n}$ le reste de la division euclidienne de $X^{n}$ par $Π$ . Justifier que $M^{n} = R_{n} (M)$ . On écrit $R_{n} = γ_{n} + β_{n} (X - q) + α_{n} (X - q)^{2}$ : déterminer $γ_{n}$ et $β_{n}$ (évaluer en $q$ l'égalité de la division, puis sa dérivée), puis $α_{n}$ (évaluer en $1$ ).

c) En déduire que $a_{n} = q^{n}$ , $b_{n} = n p q^{n - 1}$ et $c_{n} = 1 - q^{n} - n p q^{n - 1}$ . D'où vient le facteur $n$ ?

d) Pour $p = \frac{1}{2}$ , déterminer les pas où la fraction de $B$ est maximale.

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La méthode du cours pour exploiter un polynôme annulateur (division euclidienne, puis évaluation), la règle $(P Q) (M) = P (M) Q (M)$ , et la caractérisation d'une racine multiple par les dérivées (première année) : si $q$ est racine double de $Π$ , alors $Π (q) = Π^{'} (q) = 0$ .

a) Un annulateur de degré trois. Comme $1 - q = p$ , $M - q I_{3} = 0 p 0 00 p 00 p,$ et en élevant au carré, ligne par colonne : $(M - q I_{3})^{2} = 00 p^{2} 00 p^{2} 00 p^{2} .$ Cette matrice a ses deux premières lignes nulles et sa troisième ligne égale à $p^{2} L$ : c'est le produit de la colonne $p^{2} e_{3}$ , où $e_{3} =^{t} (0, 0, 1)$ , par la ligne $L$ . Or $L M = L$ : la somme des coefficients de chaque colonne de $M$ vaut $1$ , ce qui traduit la conservation de la matière, $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ . Donc $L (M - I_{3}) = L M - L = 0$ , et $Π (M) = (M - q I_{3})^{2} (M - I_{3}) = p^{2} e_{3} L (M - I_{3}) = 0.$

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Évaluer en $q$ l'égalité $X^{n} = Q_{n} Π + R_{n}$ donne $γ_{n}$ . Mais en dérivant, il apparaît $Q_{n}^{'}$ et $Q_{n}$ , que je ne connais pas : comment m'en débarrasser ?

La dérivée de $Q_{n} Π$ est $Q_{n}^{'} Π + Q_{n} Π^{'}$ . Que valent $Π (q)$ et $Π^{'} (q)$ , compte tenu de la multiplicité de $q$ comme racine de $Π$ ?

Élève

$q$ est racine double de $Π$ , donc $Π (q) = Π^{'} (q) = 0$ : les deux termes inconnus disparaissent en $q$ , et il ne reste que $R_{n}^{'} (q)$ à droite.

Que vaut $R_{n}^{'} (q)$ avec l'écriture $R_{n} = γ_{n} + β_{n} (X - q) + α_{n} (X - q)^{2}$ , et que donne le membre de gauche dérivé en $q$ ? Pour $α_{n}$ , en évaluant en $1$ , quelles valeurs déjà connues réinjectes-tu ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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