Réactions successives $A\to B\to C$ : les puissances par division euclidienne

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La méthode du cours pour exploiter un polynôme annulateur (division euclidienne, puis évaluation), la règle $(PQ)(M)=P(M)Q(M)$, et la caractérisation d'une racine multiple par les dérivées (première année) : si $q$ est racine double de $\Pi$, alors $\Pi (q)={\Pi }^{\prime }(q)=0$.

a) Un annulateur de degré trois. Comme $1-q=p$, $$M-q{I}_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ p& 0& 0\\ 0& p& p\end{array}\right),$$ et en élevant au carré, ligne par colonne : $$(M-q{I}_3{)}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ p^2& p^2& p^2\end{array}\right).$$ Cette matrice a ses deux premières lignes nulles et sa troisième ligne égale à $p^{2}L$ : c'est le produit de la colonne $p^2{e}_3$, où $e_3={}^t(0,0,1)$, par la ligne $L$. Or $LM=L$ : la somme des coefficients de chaque colonne de $M$ vaut $1$, ce qui traduit la conservation de la matière, $a_n+b_n+c_n=1$. Donc $L(M-I_3)=LM-L=0$, et $$\Pi (M)=(M-q{I}_3{)}^2(M-I_3)=p^2{e}_{3}L(M-I_3)=0.$$

b) Les puissances par le reste. La division euclidienne de $X^n$ par $\Pi$, qui est de degré $3$, s'écrit $X^n=Q_n\Pi +R_n$ avec $\mathrm{deg}{R}_n\le 2$. En évaluant en $M$ : $M^n=Q_n(M)\Pi (M)+R_n(M)=R_n(M)$.

Tout polynôme de degré au plus $2$ s'écrit dans la base $(1,X-q,(X-q{)}^2)$ : c'est la forme $R_n={\gamma }_n+{\beta }_n(X-q)+{\alpha }_n(X-q{)}^2$, choisie parce qu'elle se prête aux évaluations en $q$.

• En $q$. Comme $\Pi (q)=0$, l'égalité de la division donne $q^n=R_n(q)={\gamma }_n$.
• La dérivée en $q$. En dérivant $X^n=Q_n\Pi +R_n$, on obtient $n{X}^{n-1}=Q_n^{\prime }\Pi +Q_n{\Pi }^{\prime }+R_n^{\prime }$. Or $q$ est racine double de $\Pi$, donc racine de $\Pi$ et de ${\Pi }^{\prime }$. En évaluant en $q$ : $n{q}^{n-1}=R_n^{\prime }(q)={\beta }_n$.
• En $1$. Comme $\Pi (1)=0$, on obtient $1=R_n(1)=q^n+n{q}^{n-1}(1-q)+{\alpha }_n(1-q{)}^2$, soit $${\alpha }_n=\frac{1-q^n-np{q}^{n-1}}{p^2}.$$

c) Les trois fractions. On a $V_n=M^n{V}_0=R_n(M)e_1$, et les deux vecteurs utiles sont déjà connus : $(M-q{I}_3)e_1$ est la première colonne de $M-q{I}_3$, soit ${}^t(0,p,0)$, et $(M-q{I}_3{)}^2{e}_1$ est la première colonne de $(M-q{I}_3{)}^2$, soit ${}^t(0,0,p^2)$. Donc $$V_n={\gamma }_n{e}_1+{\beta }_n{}^t(0,p,0)+{\alpha }_n{}^t(0,0,p^2)={}^t\left(q^n,np{q}^{n-1},1-q^n-np{q}^{n-1}\right).$$ Ainsi $a_n=q^n$, $b_n=np{q}^{n-1}$ et $c_n=1-q^n-np{q}^{n-1}$ ; on vérifie que $a_n+b_n+c_n=1$.

D'où vient le facteur $n$. Il est apparu au moment de dériver : la racine $q$ est double, l'évaluation en $q$ ne fournit qu'une équation, et c'est la dérivée de $X^n$ qui donne la seconde — avec son facteur $n$. Si les deux probabilités étaient différentes, $p$ pour $A\to B$ et $p^{\prime }$ pour $B\to C$, les racines $q=1-p$ et $q^{\prime }=1-p^{\prime }$ seraient simples, et l'on trouverait $b_n=\frac{p(q^n-q^{\prime n})}{q-q^{\prime }}$ : une différence de deux puissances, dont $np{q}^{n-1}$ est la limite quand $q^{\prime }$ tend vers $q$.

d) Le maximum de $B$ pour $p=\frac{1}{2}$. Alors $q=\frac{1}{2}$ et $b_n=\frac{n}{2^n}$. Pour $n\ge 1$, $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{n+1}{2n},$$ qui vaut $1$ pour $n=1$ et est strictement inférieur à $1$ pour $n\ge 2$. Donc $b_1=b_2=\frac{1}{2}$, puis la suite décroît strictement : $b_3=\frac{3}{8}$, $b_4=\frac{1}{4}$, et ainsi de suite. Comme $b_0=0$, la fraction de $B$ est maximale aux pas $1$ et $2$, où elle vaut $\frac{1}{2}$.

Ce que l'exercice installe. Pour les puissances d'une matrice, on divise $X^n$ par un polynôme annulateur et l'on évalue le reste aux racines ; une racine double impose de dériver, et c'est elle qui fabrique le terme $n{q}^{n-1}$. C'est l'analogue discret de la cinétique de deux réactions successives de même constante de vitesse $k$, où la concentration de l'intermédiaire vaut $[B](t)=kt{\mathrm{e}}^{-kt}[A{]}_0$ : le facteur $t$ y vient, lui aussi, de la coïncidence des deux constantes. Au chapitre 2, on dira que $M$ n'est pas diagonalisable ; ici, on a calculé ses puissances sans avoir besoin de le savoir.