Trois droites en somme directe, et le piège du « deux à deux »

Stratégie. En dimension finie, on compte les dimensions avant tout : la question~1 se règle par un unique déterminant, et la question~2 exhibe la relation qui manque au critère « deux à deux ».

1. Posons $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(0,1,1)$, $u_3=(1,0,1)$. La famille $(u_1,u_2,u_3)$ est la concaténation d'une base de chaque $D_i$, et $$\det (u_1,u_2,u_3)=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1\times (1-0)-0+1\times (1-0)=2\ne 0.$$ La famille est donc une base de ${\mathbb{R}}^3$, c'est-à-dire une base adaptée à la décomposition. Le théorème de caractérisation en dimension finie (implication $2⟹1$) donne ${\mathbb{R}}^3=D_1\oplus D_2\oplus D_3$.

2. Deux droites vectorielles distinctes ont pour intersection $\{0\}$, et il suffit donc de vérifier la non-colinéarité deux à deux. En ne regardant que les deux premières coordonnées : $$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=-1,$$ tous non nuls : les trois droites $D_1,D_2,D_3^{\prime }$ sont deux à deux d'intersection $\{0\}$.

Pourtant $(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)$, c'est-à-dire $$\underset{\in D_1}{\underbrace{(1,1,0)}}+\underset{\in D_2}{\underbrace{(0,1,1)}}+\underset{\in D_3^{\prime }}{\underbrace{(-(1,2,1))}}=0_{{\mathbb{R}}^3},$$ soit une décomposition du vecteur nul dont aucun terme n'est nul : la somme n'est pas directe. Le décompte le confirme : $D_1+D_2+D_3^{\prime }=D_1\oplus D_2$ est un plan, donc $$\dim (D_1+D_2+D_3^{\prime })=2<3=\dim D_1+\dim D_2+\dim D_3^{\prime },$$ inégalité stricte dans le théorème d'inégalité des dimensions — ce qui, d'après ce même théorème, équivaut à la non-directitude.

Ce qu'il faut retenir. Pour $p\ge 3$ sous-espaces, la condition $F_i\cap F_j=\{0\}$ est nécessaire mais pas suffisante : c'est le décompte des dimensions qui tranche.