mathématiques (PC) · Chapitre 1 · Exercice de TD

$u^{3} = u$ : trois noyaux en somme directe

Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants · A. Sommes directes de plusieurs sous-espaces · niveau 2

Énoncé

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in L (E)$ tel que $u^{3} = u$ . On note $E_{0} = ker u$ , $E_{1} = ker (u - id_{E})$ et $E_{- 1} = ker (u + id_{E})$ .

a) (Analyse.) On suppose qu'un vecteur $x$ s'écrit $x = x_{0} + x_{1} + x_{- 1}$ avec $x_{0} \in E_{0}$ , $x_{1} \in E_{1}$ , $x_{- 1} \in E_{- 1}$ . Exprimer $u (x)$ et $u^{2} (x)$ à l'aide de $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{- 1}$ , puis en déduire $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{- 1}$ en fonction de $x$ , $u (x)$ et $u^{2} (x)$ .

b) (Synthèse.) Montrer que $E = E_{0} \oplus E_{1} \oplus E_{- 1}$ , et que les projecteurs associés à cette décomposition sont $p_{0} = id_{E} - u^{2}, p_{1} = \frac{1}{2} (u^{2} + u), p_{- 1} = \frac{1}{2} (u^{2} - u) .$

c) Écrire la matrice de $u$ dans une base adaptée à cette décomposition. En déduire que $rg u = dim E_{1} + dim E_{- 1}$ .

d) (Exemple.) En mécanique quantique, la composante $S_{x}$ du spin d'une particule de spin $1$ est représentée, en unités de $ℏ$ , par $S = \frac{1}{2} 010101010 .$ Vérifier que $S^{3} = S$ , puis déterminer une base de chacun des trois sous-espaces $ker S$ , $ker (S - I_{3})$ , $ker (S + I_{3})$ en calculant les images des projecteurs de la question b).

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition d'une somme directe de plusieurs sous-espaces — la décomposition du vecteur nul est unique, donc celle de tout vecteur l'est aussi —, le calcul avec les polynômes d'endomorphismes, et le théorème de caractérisation en dimension finie. Aucune valeur propre : ce sera le vocabulaire du chapitre 2, et l'on va voir qu'on peut s'en passer.

La stratégie. On ne sait pas encore si la décomposition existe. On raisonne donc par analyse-synthèse : on suppose qu'elle existe et l'on en tire les trois composantes — ce qui prouvera l'unicité ; puis on vérifie que les formules obtenues fournissent bien une décomposition — ce qui prouvera l'existence.

a) Analyse. Par définition des trois noyaux, $u (x_{0}) = 0$ , $u (x_{1}) = x_{1}$ et $u (x_{- 1}) = - x_{- 1}$ . En appliquant $u$ , qui est linéaire, à l'égalité $x = x_{0} + x_{1} + x_{- 1}$ , puis en l'appliquant une seconde fois : $u (x) = x_{1} - x_{- 1},$ $u^{2} (x) = u (x_{1}) - u (x_{- 1}) = x_{1} + x_{- 1} .$ On dispose ainsi de trois relations linéaires entre les trois inconnues $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{- 1}$ : $⎩ ⎨ ⎧ x_{0} + x_{1} + x_{- 1} = x x_{1} - x_{- 1} = u (x) x_{1} + x_{- 1} = u^{2} (x)$ La demi-somme et la demi-différence des deux dernières donnent $x_{1}$ et $x_{- 1}$ ; la première donne ensuite $x_{0} = x - (x_{1} + x_{- 1}) = x - u^{2} (x)$ : $x_{0} = x - u^{2} (x), x_{1} = \frac{1}{2} (u^{2} (x) + u (x)), x_{- 1} = \frac{1}{2} (u^{2} (x) - u (x)) .$ Conclusion de l'analyse. Si une décomposition existe, elle est unique : ses trois composantes sont imposées par ces formules. En particulier, pour $x = 0$ , les trois composantes sont nulles : c'est exactement dire que la somme $E_{0} + E_{1} + E_{- 1}$ est directe.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour la somme directe, il me suffit de vérifier que $E_{0} \cap E_{1}$ , $E_{0} \cap E_{- 1}$ et $E_{1} \cap E_{- 1}$ sont réduits à ${0}$ , puis que tout vecteur se décompose ?

Non : pour trois sous-espaces, des intersections deux à deux nulles ne suffisent pas à rendre la somme directe. Mais tu as déjà de quoi établir l'unicité : qu'a montré exactement l'analyse du a) ?

Élève

Que si une décomposition existe, ses trois composantes sont données par des formules en $x$ , $u (x)$ et $u^{2} (x)$ : elle est donc unique. Il reste à prouver qu'elle existe.

Oui. En posant ces trois vecteurs pour un $x$ quelconque, que dois-tu vérifier pour chacun d'eux, et à quel moment l'hypothèse $u^{3} = u$ intervient-elle ?

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