Un polynôme annulateur factorisé découpe l'espace

Décomposition par un polynôme annulateur factorisé. Soient $u\in \mathcal{L}(E)$ et $P,Q\in \mathbb{K}[X]$ premiers entre eux tels que $(PQ)(u)=0$. Montrer que $$E=\ker P(u)\oplus \ker Q(u),$$ et que le projecteur associé sur $\ker P(u)$ est $(VQ)(u)$, où $UP+VQ=1$ est une relation de Bézout (écrire $x=(UP)(u)(x)+(VQ)(u)(x)$, puis appliquer $P(u)$ au second terme et $Q(u)$ au premier). Retrouver l'exercice 13 en prenant $P=X$ et $Q=X^2-1$, puis en scindant $Q$. C'est la clef de toute la réduction du chapitre suivant.