Dérivées partielles d'une fonction à valeurs dans ℝ² — exercice corrigé de maths spé (PC) (chapitre 10)

Dérivées partielles d'une fonction à valeurs dans

R^{2}

Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f : R^{2} \to R^{2}$ définie par $f (x, y) = (f_{1} (x, y), f_{2} (x, y))$ , avec $f_{1} (x, y) = x^{2} y$ et $f_{2} (x, y) = sin (x y)$ . Justifier que $f_{1}$ et $f_{2}$ sont de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , calculer leurs dérivées partielles, puis, au point $(1, π)$ , leurs gradients et leurs différentielles $d f_{1} (1, π) \cdot (h, k)$ et $d f_{2} (1, π) \cdot (h, k)$ .

Corrigé

L'étude d'une fonction à valeurs dans $R^{2}$ se ramène à celle de ses deux coordonnées : le programme ne définit la différentielle que pour une fonction à valeurs réelles.

Classe $C^{1}$ . $f_{1}$ est polynomiale ; $f_{2}$ est la composée de la fonction polynomiale $(x, y) \mapsto x y$ et du sinus. Leurs dérivées partielles existent et sont continues sur $R^{2}$ : $\frac{\partial f _{1}}{\partial x} = 2 x y, \frac{\partial f _{1}}{\partial y} = x^{2},$ $\frac{\partial f _{2}}{\partial x} = y cos (x y), \frac{\partial f _{2}}{\partial y} = x cos (x y) .$

Au point $(1, π)$ . Comme $cos π = - 1$ : $\nabla f_{1} (1, π) = (2 π, 1)$ et $\nabla f_{2} (1, π) = (- π, - 1)$ , d'où $d f_{1} (1, π) \cdot (h, k) = 2 π h + k, d f_{2} (1, π) \cdot (h, k) = - π h - k .$

Contrôle par le développement limité. $f_{2} (1 + h, π + k) = sin (π + π h + k + hk) = - sin (π h + k + hk)$ , qui vaut $- (π h + k) + o (∥(h, k)∥)$ : on retrouve $d f_{2} (1, π)$ . (Les quatre dérivées partielles se rangent naturellement en un tableau à deux lignes, une par coordonnée ; le programme de PC s'en tient aux deux formes linéaires $d f_{1} (1, π)$ et $d f_{2} (1, π)$ .)

Dérivées partielles d'une fonction à valeurs dans R2

Énoncé

Corrigé

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