Dérivées partielles d'une fonction à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$

L'étude d'une fonction à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$ se ramène à celle de ses deux coordonnées : le programme ne définit la différentielle que pour une fonction à valeurs réelles.

Classe ${\mathcal{C}}^1$. $f_1$ est polynomiale ; $f_2$ est la composée de la fonction polynomiale $(x,y)\mapsto xy$ et du sinus. Leurs dérivées partielles existent et sont continues sur ${\mathbb{R}}^2$ : $$\frac{\partial f_1}{\partial x}=2xy,\frac{\partial f_1}{\partial y}=x^2,$$ $$\frac{\partial f_2}{\partial x}=y\cos (xy),\frac{\partial f_2}{\partial y}=x\cos (xy).$$

Au point $(1,\pi )$. Comme $\cos \pi =-1$ : $\nabla f_1(1,\pi )=(2\pi ,1)$ et $\nabla f_2(1,\pi )=(-\pi ,-1)$, d'où $$\mathrm{d}{f}_1(1,\pi )\cdot (h,k)=2\pi h+k,\mathrm{d}{f}_2(1,\pi )\cdot (h,k)=-\pi h-k.$$

Contrôle par le développement limité. $f_2(1+h,\pi +k)=\sin (\pi +\pi h+k+hk)=-\sin (\pi h+k+hk)$, qui vaut $-(\pi h+k)+o(\Vert (h,k)\Vert )$ : on retrouve $\mathrm{d}{f}_2(1,\pi )$. (Les quatre dérivées partielles se rangent naturellement en un tableau à deux lignes, une par coordonnée ; le programme de PC s'en tient aux deux formes linéaires $\mathrm{d}{f}_1(1,\pi )$ et $\mathrm{d}{f}_2(1,\pi )$.)