Dériver un déterminant : la trace en l'identité, et le wronskien

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PC), chapitre 10 — Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables · A. Dérivées partielles et différentielle

Énoncé

Soit $n \geq 2$ .

a) Soit $I$ un intervalle et $A : I \to M_{n} (R)$ une fonction dérivable, de colonnes $C_{1} (t), \dots, C_{n} (t)$ . Justifier que $t \mapsto det A (t)$ est dérivable et que $(det A)^{'} (t) = j = 1 \sum n det (C_{1} (t), \dots, C_{j}^{'} (t), \dots, C_{n} (t)),$ où, dans le $j$ -ième terme, seule la $j$ -ième colonne est dérivée.

b) Soit $H \in M_{n} (R)$ . En déduire que $t \mapsto det (I_{n} + t H)$ a pour dérivée $tr H$ en $0$ , autrement dit que $det (I_{n} + t H) = 1 + t tr H + o (t) (t \to 0) .$

c) Soient $M, C \in M_{n} (R)$ , et $C_{1}, \dots, C_{n}$ les colonnes de $C$ . En dérivant de deux façons $t \mapsto det ((I_{n} + tM) C)$ en $0$ , montrer que $j = 1 \sum n det (C_{1}, \dots, M C_{j}, \dots, C_{n}) = tr (M) det C,$ où, dans le $j$ -ième terme, la colonne $C_{j}$ est remplacée par $M C_{j}$ . En déduire, pour $A \in GL_{n} (R)$ et $H \in M_{n} (R)$ , que la dérivée en $0$ de $t \mapsto det (A + t H)$ vaut $det (A) tr (A^{- 1} H)$ (formule de Jacobi).

d) Soient $a, b \in R$ et $y_{1}$ , $y_{2}$ deux solutions sur $R$ de l'équation $y^{''} + a y^{'} + b y = 0$ . On pose $W (t) = det (y_{1} (t) y_{1}^{'} (t) y_{2} (t) y_{2}^{'} (t)) .$ Écrire $Y_{i}^{'} = M Y_{i}$ , où $Y_{i} = (y_{i} y_{i}^{'})$ et $M$ est une matrice constante, et déduire de c) que $W^{'} = - aW$ . En conclure que $W$ est identiquement nul ou ne s'annule jamais, et interpréter le cas $a = 0$ (oscillateur non amorti) en termes d'aire dans le plan $(y, y^{'})$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La règle du cours : si $M$ est $p$ -linéaire et $f_{1}, \dots, f_{p}$ dérivables à valeurs vectorielles, $M (f_{1}, \dots, f_{p})$ est dérivable, et sa dérivée est la somme des $p$ termes obtenus en dérivant un seul argument à la fois. Le déterminant, fonction des $n$ colonnes, est $n$ -linéaire et alterné. La stratégie de tout l'exercice est de ne jamais développer un déterminant : on ne se sert que de la multilinéarité.

a) La dérivée d'un déterminant. $A$ est dérivable si et seulement si chacun de ses coefficients l'est ; chaque colonne $C_{j}$ est donc dérivable, de dérivée la colonne des dérivées. Or $det A (t) = D (C_{1} (t), \dots, C_{n} (t))$ , où $D$ est le déterminant dans la base canonique de $R^{n}$ , application $n$ -linéaire des colonnes. La règle du cours, appliquée à $D$ et à $C_{1}, \dots, C_{n}$ , donne la dérivabilité et la formule : on dérive une colonne à la fois, et l'on somme.

b) En l'identité, la dérivée est la trace. Posons $A (t) = I_{n} + t H$ : sa $j$ -ième colonne est $e_{j} + t H_{j}$ , où $e_{j}$ est le $j$ -ième vecteur de la base canonique et $H_{j}$ la $j$ -ième colonne de $H$ ; cette colonne vaut $e_{j}$ en $t = 0$ , et sa dérivée est la colonne constante $H_{j}$ . Le a) donne $(det A)^{'} (0) = j = 1 \sum n det (e_{1}, \dots, e_{j - 1}, H_{j}, e_{j + 1}, \dots, e_{n}) .$ Écrivons $H_{j} = \sum_{i} h_{ij} e_{i}$ . Par linéarité par rapport à la $j$ -ième place, le $j$ -ième terme vaut $\sum_{i} h_{ij} det (e_{1}, \dots, e_{i}, \dots, e_{n})$ , le vecteur $e_{i}$ occupant la $j$ -ième place. Pour $i \neq = j$ , le vecteur $e_{i}$ figure deux fois, et le déterminant est nul, car une forme alternée s'annule dès que deux arguments sont égaux. Il reste $h_{j j} det (e_{1}, \dots, e_{n}) = h_{j j}$ , d'où $(det A)^{'} (0) = j = 1 \sum n h_{j j} = tr H .$ Une fonction dérivable en $0$ y admet un développement limité d'ordre un ; comme $det I_{n} = 1$ , c'est $det (I_{n} + t H) = 1 + t tr H + o (t)$ .

Contrôle. Pour $H = (1324)$ , $det (I_{2} + t H) = (1 + t) (1 + 4 t) - 6 t^{2} = 1 + 5 t - 2 t^{2}$ , de dérivée $5 = tr H$ en $0$ .

c) Une identité de trace, puis la formule de Jacobi. Posons $φ (t) = det ((I_{n} + tM) C)$ . Première façon : $φ (t) = det (I_{n} + tM) det C$ , donc, par le b), $φ^{'} (0) = tr (M) det C$ . Seconde façon : la $j$ -ième colonne de $(I_{n} + tM) C$ est $C_{j} + tM C_{j}$ ; elle vaut $C_{j}$ en $0$ , et sa dérivée est la colonne constante $M C_{j}$ . Le a) donne $φ^{'} (0) = j = 1 \sum n det (C_{1}, \dots, M C_{j}, \dots, C_{n}) .$ La dérivée en un point est unique : les deux expressions sont égales.

La formule de Jacobi. Pour $A$ inversible, $A + t H = (I_{n} + t H A^{- 1}) A$ : c'est le c) avec $C = A$ et $M = H A^{- 1}$ . La dérivée en $0$ de $t \mapsto det (A + t H)$ vaut donc $tr (H A^{- 1}) det A = det (A) tr (A^{- 1} H)$ , puisque $tr (P Q) = tr (QP)$ .

d) Le wronskien. Si $y$ est solution, $Y = (y y^{'})$ vérifie $Y^{'} = (y^{'} - b y - a y^{'})$ , c'est-à-dire $Y^{'} = M Y, M = (0 - b 1 - a), tr M = - a .$ $W (t) = det (Y_{1} (t), Y_{2} (t))$ est le déterminant de deux fonctions vectorielles dérivables ; par le a), $W^{'} (t) = det (M Y_{1} (t), Y_{2} (t)) + det (Y_{1} (t), M Y_{2} (t)) .$ C'est le membre de gauche de l'identité du c), écrite à $t$ fixé pour la matrice de colonnes $Y_{1} (t)$ et $Y_{2} (t)$ — l'identité vaut pour toute matrice. Donc $W^{'} = tr (M) W = - aW$ .

Cette équation différentielle linéaire du premier ordre donne $W (t) = W (0) e^{- a t}$ . Si $W (0) = 0$ , $W$ est identiquement nul ; sinon, il ne s'annule jamais, puisqu'une exponentielle ne s'annule pas. Il n'y a pas de milieu : le wronskien est nul partout, ou nulle part.

Interprétation. $W (t)$ est l'aire orientée du parallélogramme construit sur $Y_{1} (t)$ et $Y_{2} (t)$ dans le plan $(y, y^{'})$ , le plan de phase. Pour $a = 0$ (oscillateur non amorti), $W^{'} = 0$ : cette aire est conservée, alors que chacun des deux vecteurs tourne et se déforme. Avec un amortissement $a > 0$ , elle décroît comme $e^{- a t}$ : le frottement contracte les aires du plan de phase.

Contrôle. Pour $y^{''} + 2 y^{'} + y = 0$ ( $a = 2$ ), avec $y_{1} (t) = e^{- t}$ et $y_{2} (t) = t e^{- t}$ : $W (t) = e^{- t} (1 - t) e^{- t} + t e^{- t} e^{- t} = e^{- 2 t}$ , qui est bien $W (0) e^{- 2 t}$ .

Le point délicat. L'identité du c) ne se devine pas en développant : elle vient de ce qu'une même quantité se dérive de deux façons, et c'est elle qui réduit une somme de $n$ déterminants à un seul terme.

Ce que l'exercice installe. La dérivée d'un déterminant se prend colonne par colonne, et en l'identité elle vaut la trace. D'où la formule de Jacobi, et le fait qu'un système $Y^{'} = M Y$ transporte les aires, et plus généralement les volumes, avec le facteur $e^{t tr M}$ . En mécanique, c'est la conservation des aires du plan de phase sans frottement — en miniature, le théorème de Liouville — et leur contraction avec frottement.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.