Des dérivées selon tout vecteur, sans continuité

Dérivées selon un vecteur. Pour $v=(v_1,v_2)\ne (0,0)$ et $t\ne 0$, $f(tv)=\frac{t^3{v}_1^2{v}_2}{t^4{v}_1^4+t^2{v}_2^2}=t\frac{v_1^2{v}_2}{t^2{v}_1^4+v_2^2}$, donc $$\frac{f(tv)-f(0,0)}{t}=\frac{v_1^2{v}_2}{t^2{v}_1^4+v_2^2}\underset{t\to 0}{\to }\{\begin{array}{ll}\frac{v_1^2}{v_2}& \text{si }{v}_2\ne 0,\\ 0& \text{si }{v}_2=0.\end{array}$$ Toutes les dérivées $D_{v}f(0,0)$ existent.

Pas de continuité. Le long de la parabole $y=x^2$, $f(x,x^2)=\frac{x^4}{2x^4}=\frac{1}{2}$ pour $x\ne 0$ : $f$ ne tend pas vers $f(0,0)=0$, elle n'est pas continue en l'origine.

Pas de classe ${\mathcal{C}}^1$. Une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert y est continue : $f$ n'est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur aucun voisinage de l'origine. On le voit aussi sur les dérivées : pour une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$, on aurait $D_{v}f(0,0)=⟨\nabla f(0,0),v⟩$, linéaire en $v$ ; or $D_{(1,0)}f(0,0)=0$ et $D_{(0,1)}f(0,0)=0$, alors que $D_{(1,1)}f(0,0)=1$. (Les dérivées selon un vecteur ne testent $f$ que le long des droites, et la parabole les contourne : c'est la continuité des dérivées partielles, et non l'existence des dérivées selon un vecteur, qui fait fonctionner le calcul différentiel.)