Deux différentielles à connaître

Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables · Niveau ★ — application directe du cours · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $u$ une forme linéaire sur $R^{p}$ , $u (x) = \sum_{i = 1}^{p} c_{i} x_{i}$ . Montrer que $u$ est de classe $C^{1}$ et que $d u (a) = u$ en tout point $a$ . Montrer ensuite que $f : x \mapsto ∥ x ∥^{2}$ (norme euclidienne) est de classe $C^{1}$ sur $R^{p}$ , avec $\nabla f (a) = 2 a$ , et retrouver ce gradient sur le développement exact de $f (a + h)$ .

Corrigé

Forme linéaire. Les dérivées partielles de $u$ sont les constantes $\frac{\partial u}{\partial x _{i}} = c_{i}$ : elles existent et sont continues, donc $u$ est de classe $C^{1}$ , et pour tout $h$ , $d u (a) \cdot h = \sum_{i} c_{i} h_{i} = u (h)$ : $d u (a) = u$ . Le développement limité d'ordre $1$ est ici exact : $u (a + h) = u (a) + u (h)$ , sans reste.

Carré de la norme. $f (x) = \sum_{i} x_{i}^{2}$ est polynomiale, de dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} = 2 x_{i}$ , continues : $f$ est de classe $C^{1}$ et $\nabla f (a) = 2 a$ . Le développement exact du produit scalaire le confirme : $f (a + h) = ⟨ a + h, a + h ⟩ = ∥ a ∥^{2} + 2 ⟨ a, h ⟩ + ∥ h ∥^{2},$ et $∥ h ∥^{2} = o (∥ h ∥)$ : on lit $d f (a) \cdot h = 2 ⟨ a, h ⟩ = ⟨ 2 a, h ⟩$ . (Le gradient $2 a$ est radial : il est orthogonal aux sphères centrées en l'origine, lignes de niveau de $f$ .)

Énoncé

Corrigé

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