mathématiques (PC) · Chapitre 10 · Exercice de TD

L'équation des ondes et la formule de d'Alembert

Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables · B. Règle de la chaîne et équations aux dérivées partielles · niveau 2

Énoncé

Soit $c > 0$ . On cherche les fonctions $f$ de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ , de variables $(x, t)$ , telles que $\frac{\partial ^{2} f}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} .$

a) À l'aide du changement de variables $u = x + c t$ , $v = x - c t$ , montrer que ces solutions sont exactement les fonctions $f (x, t) = F (x + c t) + G (x - c t)$ , avec $F$ et $G$ de classe $C^{2}$ sur $R$ .

b) Soient $φ \in C^{2} (R)$ et $ψ \in C^{1} (R)$ . Montrer qu'il existe une unique solution $f$ telle que, pour tout réel $x$ , $f (x, 0) = φ (x)$ et $\frac{\partial f}{\partial t} (x, 0) = ψ (x)$ , et qu'elle est donnée par $f (x, t) = \frac{φ ( x + c t ) + φ ( x - c t )}{2} + \frac{1}{2 c} \int_{x - c t}^{x + c t} ψ (s) d s (formule de d’Alembert).$

c) En déduire que, pour $t > 0$ , $f (x, t)$ ne dépend que des valeurs de $φ$ et de $ψ$ sur $[x - c t, x + c t]$ . Si $φ$ et $ψ$ sont nulles hors de $[- 1, 1]$ , montrer que, pour $∣ x ∣ > 1$ , on a $f (x, t) = 0$ tant que $0 \leq t < \frac{∣ x ∣ - 1}{c}$ . Interpréter.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Un changement de variables linéaire redresse l'équation : dans les variables $u$ et $v$ , l'opérateur « dérivée seconde en $t$ moins $c^{2}$ fois dérivée seconde en $x$ » devient une seule dérivée croisée, et l'équation s'intègre en deux primitives. Les conditions initiales fixent ensuite les deux fonctions arbitraires, par analyse et synthèse.

a) La solution générale. Soit $f$ de classe $C^{2}$ . L'application $(x, t) \mapsto (x + c t, x - c t)$ est une bijection linéaire de $R^{2}$ , de réciproque $x = \frac{u + v}{2}$ , $t = \frac{u - v}{2 c}$ . Posons $g (u, v) = f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2 c}), de sorte que f (x, t) = g (x + c t, x - c t) .$ $g$ est de classe $C^{2}$ , comme composée de $f$ et d'une application linéaire. La règle de la chaîne, les dérivées de $g$ étant prises en $(x + c t, x - c t)$ , donne $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u} + \frac{\partial g}{\partial v}, \frac{\partial f}{\partial t} = c \frac{\partial g}{\partial u} - c \frac{\partial g}{\partial v} .$ On recommence sur ces deux fonctions, de la même forme ; le théorème de Schwarz, applicable puisque $g$ est de classe $C^{2}$ , confond ses deux dérivées croisées : $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} + 2 \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}},$ $\frac{\partial ^{2} f}{\partial t ^{2}} = c^{2} (\frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} - 2 \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}}) .$ En soustrayant, les dérivées secondes pures disparaissent : $\frac{\partial ^{2} f}{\partial t ^{2}} - c^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = - 4 c^{2} \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} .$ Le changement de variables étant une bijection de $R^{2}$ , $f$ est solution si et seulement si la dérivée par rapport à $v$ de $\frac{\partial g}{\partial u}$ est nulle partout.

On intègre alors deux fois, chaque fois sur un intervalle. À $u$ fixé, $v \mapsto \frac{\partial g}{\partial u} (u, v)$ a une dérivée nulle sur $R$ : elle est constante, égale à $α (u) = \frac{\partial g}{\partial u} (u, 0)$ , fonction de classe $C^{1}$ . Soit $F$ une primitive de $α$ , de classe $C^{2}$ . La fonction $g (u, v) - F (u)$ a une dérivée nulle par rapport à $u$ : à $v$ fixé, elle est constante, égale à $G (v) = g (0, v) - F (0)$ , de classe $C^{2}$ . Ainsi $g (u, v) = F (u) + G (v)$ , et $f (x, t) = F (x + c t) + G (x - c t) .$ Réciproquement, si $F$ et $G$ sont de classe $C^{2}$ , cette fonction est de classe $C^{2}$ et sa dérivée seconde en $t$ , $c^{2} F^{''} (x + c t) + c^{2} G^{''} (x - c t)$ , est bien $c^{2}$ fois sa dérivée seconde en $x$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Avec $f = F (x + c t) + G (x - c t)$ , les conditions en $t = 0$ donnent $F + G = φ$ et $c F^{'} - c G^{'} = ψ$ . La seconde porte sur les dérivées : je ne vois pas comment en tirer $F$ et $G$ .

Introduis une primitive $Ψ$ de $ψ$ , par exemple celle qui s'annule en $0$ . Que peux-tu dire de la fonction $F - G - \frac{1}{c} Ψ$ ?

Élève

Sa dérivée est nulle sur $R$ , donc $F - G = \frac{1}{c} Ψ + K$ pour une constante $K$ . Avec $F + G = φ$ , je peux isoler $F$ et $G$ .

En reportant dans $F (x + c t) + G (x - c t)$ , que devient la constante $K$ , et quelle relation transforme la différence de deux valeurs de $Ψ$ en intégrale ? Pourquoi cette analyse donne-t-elle l'unicité, et que reste-t-il à vérifier pour l'existence ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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