L'équation des ondes et la formule de d'Alembert

La stratégie. Un changement de variables linéaire redresse l'équation : dans les variables $u$ et $v$, l'opérateur « dérivée seconde en $t$ moins $c^2$ fois dérivée seconde en $x$ » devient une seule dérivée croisée, et l'équation s'intègre en deux primitives. Les conditions initiales fixent ensuite les deux fonctions arbitraires, par analyse et synthèse.

a) La solution générale. Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$. L'application $(x,t)\mapsto (x+ct,x-ct)$ est une bijection linéaire de ${\mathbb{R}}^2$, de réciproque $x=\frac{u+v}{2}$, $t=\frac{u-v}{2c}$. Posons $$g(u,v)=f(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2c}),\text{de sorte que}f(x,t)=g(x+ct,x-ct).$$ $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, comme composée de $f$ et d'une application linéaire. La règle de la chaîne, les dérivées de $g$ étant prises en $(x+ct,x-ct)$, donne $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial u}+\frac{\partial g}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial t}=c\frac{\partial g}{\partial u}-c\frac{\partial g}{\partial v}.$$ On recommence sur ces deux fonctions, de la même forme ; le théorème de Schwarz, applicable puisque $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, confond ses deux dérivées croisées : $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}g}{\partial u^2}+2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial u\partial v}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial v^2},$$ $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}=c^2(\frac{{\partial }^{2}g}{\partial u^2}-2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial u\partial v}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial v^2}).$$ En soustrayant, les dérivées secondes pures disparaissent : $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}-c^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=-4c^2\frac{{\partial }^{2}g}{\partial u\partial v}.$$ Le changement de variables étant une bijection de ${\mathbb{R}}^2$, $f$ est solution si et seulement si la dérivée par rapport à $v$ de $\frac{\partial g}{\partial u}$ est nulle partout.

On intègre alors deux fois, chaque fois sur un intervalle. À $u$ fixé, $v\mapsto \frac{\partial g}{\partial u}(u,v)$ a une dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ : elle est constante, égale à $\alpha (u)=\frac{\partial g}{\partial u}(u,0)$, fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$. Soit $F$ une primitive de $\alpha$, de classe ${\mathcal{C}}^2$. La fonction $g(u,v)-F(u)$ a une dérivée nulle par rapport à $u$ : à $v$ fixé, elle est constante, égale à $G(v)=g(0,v)-F(0)$, de classe ${\mathcal{C}}^2$. Ainsi $g(u,v)=F(u)+G(v)$, et $$f(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct).$$ Réciproquement, si $F$ et $G$ sont de classe ${\mathcal{C}}^2$, cette fonction est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et sa dérivée seconde en $t$, $c^2{F}^{\prime \prime }(x+ct)+c^2{G}^{\prime \prime }(x-ct)$, est bien $c^2$ fois sa dérivée seconde en $x$.

b) Le problème de Cauchy. Analyse. Soit $f=F(x+ct)+G(x-ct)$ une solution vérifiant les deux conditions. En $t=0$ : $F+G=\phi$ et $c{F}^{\prime }-c{G}^{\prime }=\psi$ sur $\mathbb{R}$. Notons $\Psi (x)={\int }_0^x\psi (s)\mathrm{d}s$, de classe ${\mathcal{C}}^2$. La seconde relation dit que $F-G-\frac{1}{c}\Psi$ a une dérivée nulle : $F-G=\frac{1}{c}\Psi +K$, pour une constante $K$. Avec $F+G=\phi$ : $$F=\frac{1}{2}(\phi +\frac{\Psi }{c}+K),G=\frac{1}{2}(\phi -\frac{\Psi }{c}-K).$$ En reportant, la constante $K$ disparaît, et $\Psi (x+ct)-\Psi (x-ct)={\int }_{x-ct}^{x+ct}\psi (s)\mathrm{d}s$ par la relation de Chasles : toute solution est donnée par la formule de d'Alembert. C'est l'unicité.

Synthèse. Réciproquement, $F$ et $G$ ainsi définies, avec $K=0$, sont de classe ${\mathcal{C}}^2$ : par le a), la formule définit une solution. En $t=0$, elle vaut $\phi (x)$ ; et sa dérivée par rapport à $t$, $$\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)=\frac{c{\phi }^{\prime }(x+ct)-c{\phi }^{\prime }(x-ct)}{2}+\frac{\psi (x+ct)+\psi (x-ct)}{2},$$ vaut $\psi (x)$ en $t=0$. C'est l'existence.

Contrôle. Avec $\phi =0$ et $\psi =\cos$ : $f(x,t)=\frac{\sin (x+ct)-\sin (x-ct)}{2c}=\frac{\cos x\sin (ct)}{c}$, dont la dérivée seconde en $t$, $-c\cos x\sin (ct)$, est bien $c^2$ fois la dérivée seconde en $x$ ; $f(x,0)=0$ et $\frac{\partial f}{\partial t}(x,0)=\cos x$. C'est une onde stationnaire, somme de deux ondes progressives de sens opposés.

c) Le domaine de dépendance. Pour $t>0$, la formule fait intervenir $\phi$ aux points $x\pm ct$ et $\psi$ sur le segment $[x-ct,x+ct]$, rien d'autre. Supposons $\phi$ et $\psi$ nulles hors de $[-1,1]$. Pour $x>1$ et $0\le t<\frac{x-1}{c}$ : $ct<x-1$, donc $x-ct>1$, le segment est contenu dans $]1,+\infty [$ où $\phi$ et $\psi$ sont nulles, et $f(x,t)=0$. Pour $x<-1$, symétriquement, $x+ct<-1$.

Interprétation. Une perturbation localisée dans $[-1,1]$ n'atteint le point $x$ qu'à l'instant $\frac{|x|-1}{c}$ : l'information se propage à la vitesse finie $c$.

Ce que l'exercice installe. Un changement de variables linéaire bien choisi redresse une équation aux dérivées partielles : l'opérateur des ondes devient $-4c^2$ fois une dérivée croisée, et l'équation s'intègre en deux primitives, sur des intervalles. En physique, c'est l'équation de d'Alembert de la corde vibrante, du câble coaxial et des ondes sonores : deux ondes progressives de sens opposés, et une propagation à vitesse finie. Contraste instructif avec l'équation de la diffusion, que le TD 9 résout par un noyau : là, une perturbation locale se fait sentir partout dès le premier instant, mais exponentiellement atténuée.