La plus grande pente

$\nabla f(a)=(2x,4y){|}_a=(2,4)$. Alors $D_{u_{\theta }}f(a)=⟨\nabla f(a),u_{\theta }⟩=2\cos \theta +4\sin \theta$, maximal quand $u_{\theta }$ est colinéaire à $(2,4)$ : direction $\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$, pente maximale $\Vert \nabla f(a)\Vert =2\sqrt{5}$. (Sur la carte topographique des ellipses $x^2+2y^2=c$, le gradient en $(1,1)$ est perpendiculaire à l'ellipse passant par ce point et pointe vers l'extérieur — montée la plus raide.)