La relation d'Euler, sa réciproque, et $G=\sum n_i{\mu }_i$

Soit $p\in \{2,3\}$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Une fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^p\setminus \{0\}$ est dite homogène de degré $\alpha$ si $f(tx)=t^{\alpha }f(x)$ pour tout $x\ne 0$ et tout réel $t>0$.

a) (Relation d'Euler.) Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^p\setminus \{0\}$, homogène de degré $\alpha$. Montrer que, pour tout $x\ne 0$, $$\sum _{i=1}^p{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=\alpha f(x).$$

b) (Réciproque.) Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\left({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\right)}^2$, vérifiant $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=\alpha f$ en tout point. Montrer que $f(tx,ty)=t^{\alpha }f(x,y)$ pour tous réels $x,y,t>0$. (Étudier $g(t)=t^{-\alpha }f(tx,ty)$.)

c) Montrer que les dérivées partielles d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$, homogène de degré $\alpha$, sont homogènes de degré $\alpha -1$.

d) (Application.) À température et pression fixées, l'enthalpie libre d'un mélange de deux constituants est une fonction $G(n_1,n_2)$ des quantités de matière, de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\left({\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\right)}^2$ et extensive : $G(\lambda n_1,\lambda n_2)=\lambda G(n_1,n_2)$ pour tout $\lambda >0$. On note ${\mu }_i=\frac{\partial G}{\partial n_i}$ les potentiels chimiques. Montrer que $G=n_1{\mu }_1+n_2{\mu }_2$, que les ${\mu }_i$ sont intensifs (homogènes de degré $0$), et que $$n_1\frac{\partial {\mu }_1}{\partial n_1}+n_2\frac{\partial {\mu }_2}{\partial n_1}=0\text{(relation de Gibbs-Duhem).}$$ Vérifier ces relations sur le mélange idéal $$G=n_1{\mu }_1^{\circ }+n_2{\mu }_2^{\circ }+RT\left(n_1\ln \frac{n_1}{n_1+n_2}+n_2\ln \frac{n_2}{n_1+n_2}\right),$$ où ${\mu }_1^{\circ }$, ${\mu }_2^{\circ }$, $R$ et $T$ sont des constantes.