Le contre-exemple de Schwarz

La stratégie. Hors de l'origine, $f$ est un quotient de polynômes à dénominateur non nul : tout s'y calcule et tout y est régulier. La difficulté est concentrée en $(0,0)$, où il faut revenir à la définition — un taux d'accroissement — chaque fois qu'on veut une dérivée.

a) La classe ${\mathcal{C}}^1$. Hors de l'origine, $f$ est une fraction rationnelle de dénominateur non nul, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, et $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{y(x^4+4x^2{y}^2-y^4)}{(x^2+y^2{)}^2},$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x(x^4-4x^2{y}^2-y^4)}{(x^2+y^2{)}^2}.$$ En l'origine, $f(x,0)=0$ pour tout $x$, donc le taux $\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$ est nul et $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0$ ; de même $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$.

Continuité en l'origine. Le numérateur de $\frac{\partial f}{\partial x}$ est majoré en valeur absolue par $|y|(x^4+4x^2{y}^2+y^4)$, et $x^4+4x^2{y}^2+y^4\le 2(x^2+y^2{)}^2=2x^4+4x^2{y}^2+2y^4$. Donc $$|\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)|\le 2|y|,$$ qui tend vers $0$ quand $(x,y)$ tend vers $(0,0)$ ; de même $|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)|\le 2|x|$. Les deux dérivées partielles sont continues en l'origine comme ailleurs : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$.