Le laplacien des fonctions radiales : $\ln r$ dans le plan, $1/r$ dans l'espace

La stratégie. Une fonction qui ne dépend que de la distance à l'origine se dérive en passant par $r$ : on calcule une fois pour toutes le gradient de $r$, et tout s'en déduit par la règle de la chaîne. La symétrie ramène alors l'équation de Laplace, une équation aux dérivées partielles, à une équation différentielle en la seule variable $r$.

a) Le gradient de la distance. $r=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_p^2}$ est la composée d'une fonction polynomiale, strictement positive sur ${\mathbb{R}}^p\setminus \{0\}$, et de la racine carrée, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$ : elle est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$. Et $$\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+\cdots +x_p^2}}=\frac{x_i}{r},\text{donc}\nabla r(x)=\frac{x}{r}.$$ C'est le vecteur unitaire radial : la distance croît le plus vite radialement, avec une pente $1$.

b) Gradient et laplacien d'une fonction radiale. Par la règle de la chaîne, $\frac{\partial f}{\partial x_i}={\phi }^{\prime }(r)\frac{x_i}{r}$, d'où $\nabla f={\phi }^{\prime }(r)\frac{x}{r}$. Dérivons encore par rapport à $x_i$ ce produit : la dérivée de ${\phi }^{\prime }(r)$ est ${\phi }^{\prime \prime }(r)\frac{x_i}{r}$, et, par la règle du quotient, $$\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{x_i}{r}\right)=\frac{1}{r}-\frac{x_i}{r^2}\cdot \frac{x_i}{r}=\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}.$$ Donc $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}={\phi }^{\prime \prime }(r)\frac{x_i^2}{r^2}+{\phi }^{\prime }(r)(\frac{1}{r}-\frac{x_i^2}{r^3}).$$ En sommant sur $i$, avec ${\sum }_i{x}_i^2=r^2$ : $$\Delta f(x)={\phi }^{\prime \prime }(r)+{\phi }^{\prime }(r)(\frac{p}{r}-\frac{1}{r})={\phi }^{\prime \prime }(r)+\frac{p-1}{r}{\phi }^{\prime }(r).$$ Le facteur $p-1$ est la seule trace de la dimension dans la formule.

c) Les fonctions radiales harmoniques. $f$ est harmonique si et seulement si ${\phi }^{\prime \prime }+\frac{p-1}{r}{\phi }^{\prime }=0$ sur $]0,+\infty [$, puisque $r$ prend toutes les valeurs strictement positives. Multiplions par $r^{p-1}$ : l'équation s'écrit $(r^{p-1}{\phi }^{\prime }(r){)}^{\prime }=r^{p-1}{\phi }^{\prime \prime }+(p-1)r^{p-2}{\phi }^{\prime }=0$. Donc $r^{p-1}{\phi }^{\prime }(r)=C$, constante sur l'intervalle $]0,+\infty [$, soit ${\phi }^{\prime }(r)=\frac{C}{r^{p-1}}$.

• Pour $p=2$ : $\phi (r)=C\ln r+D$. Les fonctions radiales harmoniques du plan privé de l'origine sont les $C\ln r+D$.
• Pour $p=3$ : $\phi (r)=-\frac{C}{r}+D$. Celles de l'espace privé de l'origine sont les $\frac{A}{r}+D$.

Réciproquement, ces fonctions conviennent, chaque étape étant une équivalence.

Contrôle : la dimension compte. Dans le plan, $\ln r$ est harmonique, car $-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r}\cdot \frac{1}{r}=0$, mais pas $\frac{1}{r}$, dont le laplacien vaut $\frac{2}{r^3}-\frac{1}{r^3}=\frac{1}{r^3}$. Dans l'espace, c'est l'inverse : $\frac{1}{r}$ est harmonique, car $\frac{2}{r^3}-\frac{2}{r}\cdot \frac{1}{r^2}=0$, et $\ln r$ a pour laplacien $\frac{1}{r^2}$.

d) Deux potentiels de l'électrostatique. Dans une région vide de charges, le potentiel $V$ est harmonique : c'est l'équation de Laplace du cours de physique. Pour une distribution à symétrie radiale, le c) donne toutes les possibilités.

• Fil rectiligne infini, de densité linéique $\lambda$ : $V$ ne dépend que de la distance $r$ au fil, et l'on travaille dans un plan orthogonal au fil ($p=2$). Donc $V=C\ln r+D$, et $\overrightarrow{E}=-\nabla V=-\frac{C}{r}\cdot \frac{x}{r}$ est radial, de norme proportionnelle à $\frac{1}{r}$. Le théorème de Gauss de la physique fixe $C=-\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}$ : on retrouve $E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$.
• Charge ponctuelle $q$ à l'origine ($p=3$) : $V=\frac{A}{r}+D$ ; avec $A=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}$ et $D=0$ (potentiel nul à l'infini), $\overrightarrow{E}=-\nabla V=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\cdot \frac{x}{r}$ : c'est la loi de Coulomb.

Ce que l'exercice installe. Pour une fonction radiale, tout passe par $\nabla r=\frac{x}{r}$, et le laplacien se réduit à ${\phi }^{\prime \prime }+\frac{p-1}{r}{\phi }^{\prime }$ : la symétrie transforme une équation aux dérivées partielles en équation différentielle. Les solutions dépendent de la dimension — $\ln r$ dans le plan, $\frac{1}{r}$ dans l'espace — et ce sont exactement les potentiels du fil chargé et de la charge ponctuelle. Le problème de la séance s'appuiera sur ce résultat : le potentiel coulombien est harmonique hors des charges.