Le point de Fermat–Torricelli

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PC), chapitre 10 — Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables · D. Optimisation

Énoncé

Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points non alignés du plan euclidien $R^{2}$ , et $f (M) = M A + M B + M C$ .

a) Montrer que $M \mapsto M A$ est de classe $C^{1}$ sur $R^{2} ∖ {A}$ , de gradient le vecteur unitaire $u_{A} (M) = \frac{A M}{A M}$ , et qu'elle n'admet en $A$ de dérivée selon aucun vecteur non nul.

b) Montrer que $f$ atteint un minimum global sur $R^{2}$ . (Comparer $f$ à $f (A)$ hors d'un disque fermé assez grand.)

c) Soit $M_{0}$ un point où $f$ est minimale, distinct de $A$ , $B$ et $C$ . Montrer que $u_{A} (M_{0}) + u_{B} (M_{0}) + u_{C} (M_{0}) = 0$ , puis que les angles $A M_{0} B$ , $B M_{0} C$ et $C M_{0} A$ valent tous $\frac{2 π}{3}$ . Montrer enfin que $M_{0}$ est barycentre de $A$ , $B$ , $C$ à coefficients strictement positifs, donc intérieur au triangle.

d) On étudie le sommet $A$ . On pose $e_{B} = \frac{A B}{A B}$ , $e_{C} = \frac{A C}{A C}$ et $w = - (e_{B} + e_{C})$ . Pour $v$ unitaire, montrer que $t \to 0^{+} lim \frac{f ( A + t v ) - f ( A )}{t} = 1 + ⟨ v, w ⟩,$ puis que $∥ w ∥^{2} = 2 + 2 cos A$ , où $A$ est l'angle du triangle en $A$ . En déduire que si $A < \frac{2 π}{3}$ , $f$ n'est pas minimale en $A$ .

e) Conclure : si les trois angles du triangle sont strictement inférieurs à $\frac{2 π}{3}$ , $f$ atteint son minimum en un point intérieur au triangle, d'où l'on voit chacun des trois côtés sous l'angle $\frac{2 π}{3}$ — le point de Fermat–Torricelli (on admet qu'un tel point est unique).

f) (Machine de Varignon.) Trois fils passent par trois petits trous $A$ , $B$ , $C$ percés dans une table horizontale ; ils sont noués ensemble en un point $M$ de la table et portent chacun, sous la table, une même masse $m$ . Montrer que l'énergie potentielle de pesanteur du système vaut $m g f (M)$ à une constante près, et relire la question c) comme l'équilibre des trois tensions.

Corrigé

La stratégie. C'est la méthode des extremums globaux, adaptée à une fonction qui n'est pas dérivable partout. L'existence vient du théorème des bornes atteintes, sur un disque fermé hors duquel $f$ est grande. Un minimum situé là où $f$ est de classe $C^{1}$ est un point critique ; les trois points où elle ne l'est pas — les sommets — sont examinés à part, comme le bord d'un domaine. Aucune contrainte, aucun multiplicateur : le gradient, et une dérivée à droite.

a) La distance à un point. $M A$ est de classe $C^{\infty}$ hors de $A$ , comme la distance à l'origine translatée, de gradient $\frac{A M}{A M}$ , le vecteur unitaire de $A$ vers $M$ . En $A$ , pour $v \neq = 0$ , le taux $\frac{∥ t v ∥}{t} = \frac{∣ t ∣}{t} ∥ v ∥$ vaut $∥ v ∥$ pour $t > 0$ et $- ∥ v ∥$ pour $t < 0$ : il n'a pas de limite en $0$ , et $M A$ n'a en $A$ de dérivée selon aucun vecteur non nul. Le graphe de la distance est un cône, dont $A$ est la pointe.

b) L'existence. $f$ est continue, comme somme de trois distances. Soit $K$ le disque fermé de centre $A$ et de rayon $f (A) = A B + A C$ : partie non vide, fermée et bornée, sur laquelle $f$ atteint son minimum en un point $M_{0}$ , par le théorème des bornes atteintes. Si $M \in / K$ , alors $M A > f (A)$ et, $M B$ et $M C$ étant positifs, $f (M) \geq M A > f (A) \geq f (M_{0})$ , la dernière inégalité parce que $A \in K$ . Si $M \in K$ , $f (M) \geq f (M_{0})$ . Donc $f$ atteint en $M_{0}$ son minimum global sur $R^{2}$ . Le point délicat est le choix du disque : il contient un point de référence, $A$ , où $f$ est connue, et il est assez grand pour que $f$ dépasse cette valeur au-dehors.

c) Un minimum hors des sommets. Sur l'ouvert $R^{2} ∖ {A, B, C}$ , $f$ est de classe $C^{1}$ , de gradient $u_{A} + u_{B} + u_{C}$ . Un minimum global y est a fortiori un minimum local ; par la condition du premier ordre, $M_{0}$ est un point critique : $u_{A} (M_{0}) + u_{B} (M_{0}) + u_{C} (M_{0}) = 0 .$ Les angles. Écrivons $u_{A} + u_{B} = - u_{C}$ et prenons le carré de la norme : les vecteurs étant unitaires, $1 + 2 ⟨ u_{A}, u_{B} ⟩ + 1 = 1$ , soit $⟨ u_{A}, u_{B} ⟩ = - \frac{1}{2}$ . Or $M_{0} A$ et $M_{0} B$ sont dirigés par $- u_{A}$ et $- u_{B}$ : le cosinus de $A M_{0} B$ vaut $- \frac{1}{2}$ , et $A M_{0} B = \frac{2 π}{3}$ . De même pour les deux autres angles.

La position. En coordonnées, la relation s'écrit $\frac{M _{0} - A}{A M _{0}} + \frac{M _{0} - B}{B M _{0}} + \frac{M _{0} - C}{C M _{0}} = 0$ . Avec $α = \frac{1}{A M _{0}}$ , $β = \frac{1}{B M _{0}}$ , $γ = \frac{1}{C M _{0}}$ , il vient $M_{0} = \frac{α A + β B + γ C}{α + β + γ} :$ $M_{0}$ est le barycentre de $A$ , $B$ , $C$ affectés de poids strictement positifs, donc intérieur au triangle.

d) Au sommet $A$ : une dérivée à droite. Soit $v$ unitaire, $t > 0$ , et $g_{B} (M) = M B$ , $g_{C} (M) = M C$ . On sépare les trois termes : $\frac{f ( A + t v ) - f ( A )}{t} = \frac{∥ t v ∥}{t} + \frac{g _{B} ( A + t v ) - g _{B} ( A )}{t} + \frac{g _{C} ( A + t v ) - g _{C} ( A )}{t} .$ Le premier terme vaut $1$ . La fonction $g_{B}$ est de classe $C^{1}$ au voisinage de $A$ , car $A \neq = B$ , de gradient en $A$ égal à $\frac{B A}{B A} = - e_{B}$ : le deuxième terme tend vers la dérivée selon $v$ , $⟨ - e_{B}, v ⟩$ . De même le troisième tend vers $⟨ - e_{C}, v ⟩$ . D'où la limite $1 + ⟨ v, w ⟩$ .

La norme de $w$ . $e_{B}$ et $e_{C}$ sont unitaires, et leur produit scalaire est le cosinus de l'angle en $A$ : $∥ w ∥^{2} = ∥ e_{B} + e_{C} ∥^{2} = 1 + 2 cos A + 1 = 2 + 2 cos A$ .

Conclusion au sommet. Si $A < \frac{2 π}{3}$ , alors $cos A > - \frac{1}{2}$ , donc $∥ w ∥ > 1$ . Pour $v = - \frac{w}{∥ w ∥}$ , la limite vaut $1 - ∥ w ∥ < 0$ : il existe des $t > 0$ aussi petits qu'on veut tels que $f (A + t v) < f (A)$ , et $A$ n'est pas un point de minimum. En quittant $A$ le long de la bissectrice intérieure de l'angle, on gagne plus sur $M B + M C$ qu'on ne perd sur $M A$ .

e) Conclusion. Si les trois angles sont strictement inférieurs à $\frac{2 π}{3}$ : par le b), $f$ atteint son minimum global en un point $M_{0}$ ; par le d), appliqué aux trois sommets, $M_{0}$ n'en est aucun ; par le c), $M_{0}$ est intérieur au triangle et voit chacun des côtés sous l'angle $\frac{2 π}{3}$ . C'est le point de Fermat–Torricelli, dont on admet l'unicité.

Contrôle. Pour $A = (0, 0)$ , $B = (1, 0)$ et $C = (0, 1)$ , triangle d'angles $\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{4}$ et $\frac{π}{4}$ , la symétrie place le point sur la diagonale, et l'on trouve $M_{0} = (\frac{1}{2} - \frac{3}{6}) (1, 1) \approx (0, 2113; 0, 2113)$ , où $f (M_{0}) = 2 + 3 \approx 1, 9319$ — moins que $f (A) = 2$ et que $f (B) = f (C) = 1 + 2 \approx 2, 414$ . Au sommet $A$ , $∥ w ∥^{2} = 2$ , et la dérivée à droite le long de la bissectrice vaut $1 - 2 \approx - 0, 414$ .

f) La machine de Varignon. Notons $L_{A}$ , $L_{B}$ , $L_{C}$ les longueurs des fils. Le fil qui passe par $A$ a une partie $M A$ sur la table et une partie $L_{A} - M A$ pendante : sa masse est à l'altitude $M A - L_{A}$ , la table servant d'origine. L'énergie potentielle des trois masses vaut $m g (M A - L_{A}) + m g (M B - L_{B}) + m g (M C - L_{C}) = m g f (M) - m g (L_{A} + L_{B} + L_{C}) .$ Les équilibres stables du nœud sont les minimums de $f$ . Et le c) se lit comme un équilibre de forces : chaque fil tire le nœud vers son trou avec une tension de norme $m g$ , dirigée par $- u_{A}$ , $- u_{B}$ ou $- u_{C}$ ; la somme est nulle si et seulement si $u_{A} + u_{B} + u_{C} = 0$ . Trois forces de même norme qui s'équilibrent font entre elles des angles de $\frac{2 π}{3}$ : la machine calcule le point de Fermat–Torricelli.

Ce que l'exercice installe. La méthode des extremums globaux dans toute sa rigueur : l'existence d'abord, par les bornes atteintes sur une partie fermée bornée bien choisie ; puis les points critiques là où la fonction est de classe $C^{1}$ ; enfin, à part, les points où elle ne l'est pas, par une dérivée à droite. En physique, l'annulation du gradient de l'énergie potentielle est l'équilibre des forces ; et les films de savon, qui minimisent leur longueur, se rejoignent trois par trois sous des angles de $\frac{2 π}{3}$ .

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