Plan tangent à une surface

Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Soit $S$ la sphère d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$ , et $a = (1, 2, 3)$ , qui appartient à $S$ . Déterminer une équation du plan tangent à $S$ en $a$ , c'est-à-dire du plan passant par $a$ et orthogonal au gradient en $a$ de $g (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$ .

Corrigé

$S$ est la ligne de niveau ${g = 0}$ de la fonction $g$ , polynomiale donc de classe $C^{1}$ , et $\nabla g (a) = (2 x, 2 y, 2 z)_{a} = (2, 4, 6) \neq = 0$ . Par la proposition du cours « le gradient est orthogonal aux lignes de niveau », ce vecteur est orthogonal en $a$ à toute courbe tracée sur $S$ passant par $a$ . Le plan tangent est donc le plan passant par $a$ de vecteur normal $(2, 4, 6)$ , ou $(1, 2, 3)$ : $1 (x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0, soit x + 2 y + 3 z = 14.$ (Contrôle : pour une sphère centrée en l'origine, la normale en $a$ est dirigée par le rayon $a$ lui-même. Et l'équation s'obtient par « dédoublement » : on remplace $x^{2}$ par $x \cdot 1$ , $y^{2}$ par $y \cdot 2$ et $z^{2}$ par $z \cdot 3$ .)

Énoncé

Corrigé

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