Problème : le principe du maximum et le théorème d'Earnshaw

1) En un maximum local, le laplacien est négatif. Ce qu'on utilise : la condition du premier ordre et la formule de Taylor-Young. Le point $b$, maximum local intérieur à l'ouvert $U$, est critique : $\nabla f(b)=0$. Soit $h\in {\mathbb{R}}^3$. La formule de Taylor-Young au point $b+th$, pour $t$ réel petit, donne, le terme du premier ordre étant nul, $$f(b+th)=f(b)+\frac{t^2}{2}{h}^{\top }{H}_f(b)h+o(t^2).$$ Supposons, par l'absurde, $h^{\top }{H}_f(b)h>0$ : alors $\frac{f(b+th)-f(b)}{t^2}$ tend vers $\frac{1}{2}{h}^{\top }{H}_f(b)h>0$, donc $f(b+th)>f(b)$ pour tout $t\ne 0$ assez petit, ce qui contredit le maximum local. Donc $h^{\top }{H}_f(b)h\le 0$ pour tout $h$ : la matrice symétrique $-H_f(b)$ est positive, $-H_f(b)\in {\mathcal{S}}_3^{+}(\mathbb{R})$. C'est la ligne du cours « si la hessienne n'est pas positive, pas de minimum », retournée pour un maximum en l'appliquant à $-f$.

Le laplacien. Avec $h=e_i$, vecteur de la base canonique, $e_i^{\top }{H}_f(b)e_i=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}(b)\le 0$ ; en sommant, $\Delta f(b)=\mathrm{tr}{H}_f(b)\le 0$. Conséquence : si $\Delta f>0$ sur $U$, aucun point de $U$ n'est un maximum local.

2) Le principe du maximum. Le laplacien de la perturbation. $\Vert x-a{\Vert }^2={\sum }_{i=1}^3(x_i-a_i{)}^2$ a trois dérivées secondes pures égales à $2$ : son laplacien vaut $6$. Par linéarité, $$\Delta g_{\epsilon }=\Delta f+6\epsilon \ge 6\epsilon >0\text{sur }U.$$ L'existence du maximum. $B$ est une partie non vide, fermée et bornée de ${\mathbb{R}}^3$, et $g_{\epsilon }$ est continue sur $B$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y atteint son maximum, en un point $x_{\epsilon }$.

Ce point est sur la sphère. Supposons, par l'absurde, $\Vert x_{\epsilon }-a\Vert <R$ : $x_{\epsilon }$ appartient à la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $R$, ouvert contenu dans $B$. Sur une petite boule centrée en $x_{\epsilon }$ et contenue dans cette boule ouverte, $g_{\epsilon }\le g_{\epsilon }(x_{\epsilon })$ : $x_{\epsilon }$ est un maximum local de $g_{\epsilon }$ sur $U$, ce que la question 1 interdit, puisque $\Delta g_{\epsilon }>0$. Donc $x_{\epsilon }\in S$ : ${\max }_B{g}_{\epsilon }={\max }_S{g}_{\epsilon }$.

Le passage à la limite. Sur $S$, $g_{\epsilon }=f+\epsilon R^2$, donc ${\max }_S{g}_{\epsilon }={\max }_{S}f+\epsilon R^2$, le maximum de $f$ sur la partie fermée bornée $S$ existant par les bornes atteintes. Et $f\le g_{\epsilon }$. Pour tout $x\in B$ : $$f(x)\le g_{\epsilon }(x)\le \underset{B}{\max }{g}_{\epsilon }=\underset{S}{\max }f+\epsilon R^2.$$ En faisant tendre $\epsilon$ vers $0$, $f(x)\le {\max }_{S}f$ pour tout $x\in B$, donc ${\max }_{B}f\le {\max }_{S}f$ ; l'inégalité inverse est évidente, puisque $S\subset B$. D'où ${\max }_{B}f={\max }_{S}f$.

Le point délicat. On ne peut pas appliquer directement la question 1 à $f$ : l'hypothèse large $\Delta f\ge 0$ n'exclut pas un maximum intérieur — une fonction constante en a partout. La perturbation $\epsilon \Vert x-a{\Vert }^2$ rend le laplacien strictement positif, ce qui interdit le maximum intérieur, et elle disparaît à la limite.

3) L'unicité. $h=f_1-f_2$ est harmonique, par linéarité du laplacien, et nulle sur $S$. Comme $\Delta h\ge 0$, le principe du maximum donne ${\max }_{B}h={\max }_{S}h=0$ : $h\le 0$ sur $B$. La fonction $-h$ est harmonique et nulle sur $S$ : de même $-h\le 0$ sur $B$. Donc $h=0$, soit $f_1=f_2$ sur $B$. En électrostatique : deux potentiels qui coïncident sur la sphère qui borde une boule vide de charges coïncident dans toute la boule.

4) Pas d'extremum local strict. Soit $f$ harmonique, et supposons, par l'absurde, qu'elle admette un maximum local strict en $b\in U$ : $U$ étant ouvert, il existe $r>0$ tel que la boule fermée $B^{\prime }$ de centre $b$ et de rayon $r$ soit contenue dans $U$ et que $f(x)<f(b)$ pour tout $x\in B^{\prime }$ distinct de $b$. Le principe du maximum vaut pour toute boule fermée contenue dans $U$ — le centre $a$ et le rayon $R$ étaient arbitraires — ; appliquons-le à $B^{\prime }$ et à sa sphère $S^{\prime }$. D'une part ${\max }_{B^{\prime }}f=f(b)$ ; d'autre part, $f$ atteint son maximum sur la partie fermée bornée $S^{\prime }$ en un point $s$ distinct de $b$, où $f(s)<f(b)$. Donc ${\max }_{S^{\prime }}f<{\max }_{B^{\prime }}f$ : contradiction. Pour un minimum local strict, on applique ce qui précède à $-f$, harmonique.

5) Le théorème d'Earnshaw. Le potentiel est harmonique. L'exercice sur les fonctions radiales a montré que $x\mapsto \frac{1}{\Vert x\Vert }$ est harmonique sur ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$. La fonction $x\mapsto \frac{1}{\Vert x-P_i\Vert }$ s'en déduit par la translation $x\mapsto x-P_i$, qui ne change aucune dérivée partielle : elle est harmonique hors de $P_i$. Par linéarité, $V$ est harmonique sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^3\setminus \{P_1,\dots ,P_N\}$.

Pas d'équilibre stable. L'énergie potentielle $qV$ est harmonique elle aussi, $q$ étant une constante. Une position d'équilibre stable serait un minimum local strict de $qV$ ; la question 4 l'interdit. Aucune position d'équilibre stable n'existe hors des charges : c'est le théorème d'Earnshaw (1842).

Contrôle. Deux charges égales, en $(-d,0,0)$ et $(d,0,0)$, créent un champ nul au milieu $O$, position d'équilibre pour une charge d'essai. La hessienne du potentiel en $O$ est proportionnelle à $\mathrm{diag}(4,-2,-2)$, de trace nulle comme il se doit : une charge d'essai de même signe est rappelée vers $O$ le long de l'axe des deux charges, mais chassée dans le plan médiateur. L'équilibre est un col.

6) Un col harmonique. $\Delta V=2+2-4=0$ : $V$ est harmonique. Son gradient, $(2x,2y,-4z)$, s'annule à l'origine, point critique. La hessienne est constante, $$H_V=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& -4\end{array}\right),$$ de valeurs propres $2$, $2$ et $-4$, de signes opposés : ni $H_V$ ni $-H_V$ n'est positive, et l'origine n'est ni un minimum ni un maximum. C'est un col, conformément à la question 4 : dans le plan $z=0$, $V=x^2+y^2$ confine ; le long de l'axe des $z$, $V=-2z^2$ chasse. Le principe du maximum s'y contrôle aussi : sur la boule unité, le maximum de $V$, $1$, est atteint sur le cercle équatorial, et le minimum, $-2$, aux pôles — tous deux sur la sphère. Un piège purement électrostatique ne confine donc pas dans les trois directions : le piège de Paul fait osciller le potentiel à haute fréquence, de sorte que les rôles de l'axe et du plan s'échangent sans cesse.

Le théorème obtenu — le principe du maximum, et le théorème d'Earnshaw. Si $f$, de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert $U$ de ${\mathbb{R}}^3$, vérifie $\Delta f\ge 0$, alors, pour toute boule fermée $B$ contenue dans $U$, de sphère $S$, ${\max }_{B}f={\max }_{S}f$. Une fonction harmonique n'admet aucun extremum local strict. En conséquence, une charge placée dans le champ électrostatique de charges fixes n'a aucune position d'équilibre stable.

Ce que le problème installe. Deux idées. En un maximum intérieur, la hessienne est négative, donc sa trace aussi : une fonction de laplacien strictement positif ne forme pas de bosse à l'intérieur de son domaine. Et, pour exploiter une inégalité large, on la rend stricte par une petite perturbation qu'on fait ensuite disparaître. En physique, le principe du maximum est partout où l'équation de Laplace apparaît : la température stationnaire d'un solide sans source atteint ses extrêmes au bord, le potentiel dans le vide est déterminé par ses valeurs aux frontières, et aucun piège électrostatique ne retient une charge — d'où les pièges de Paul et de Penning, à champ oscillant ou magnétique.