Un minimum sur toute droite qui n'est pas un minimum (Peano)

La stratégie. Un minimum local se lit sur une boule centrée au point, pas sur une réunion de droites. On vérifie que la hessienne est muette, on établit le minimum le long de chaque droite, puis on exhibe une courbe, plus plate que toute droite, le long de laquelle $f$ devient strictement négative.

Développons, puis complétons le carré en $y$ : $$f(x,y)=y^2-3x^{2}y+2x^4=(y-\frac{3}{2}{x}^2{)}^2-\frac{x^4}{4}.$$ Cette forme canonique va tout dire.

a) Un point critique, et une hessienne muette. $f$ est polynomiale, de dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}=-6xy+8x^3$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=2y-3x^2$, nulles en $(0,0)$. Les dérivées secondes y valent $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=-6y+24x^2=0$, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=-6x=0$ et $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2$ : $$H_f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$ Cette matrice est positive sans être définie positive, de valeurs propres $0$ et $2$ : aucune branche du critère ne s'applique. C'est le cas douteux, déterminant nul.

b) Toutes les droites disent « minimum ». Soit $u=(u_1,u_2)\ne 0$ et $g(t)=f(t{u}_1,t{u}_2)$.

• Si $u_1=0$ : $g(t)=t^2{u}_2^2>0$ pour $t\ne 0$.
• Si $u_2=0$ : $g(t)=2t^4{u}_1^4>0$ pour $t\ne 0$.
• Sinon : $g(t)=t^2(u_2-t{u}_1^2)(u_2-2t{u}_1^2)$. Le produit $(u_2-t{u}_1^2)(u_2-2t{u}_1^2)$ est continu en $t$ et vaut $u_2^2>0$ en $0$ ; il reste supérieur ou égal à $\frac{u_2^2}{2}$ sur un intervalle $]-\delta ,\delta [$, et $g(t)\ge \frac{u_2^2}{2}{t}^2>0$ pour $0<|t|<\delta$.

Dans les trois cas, $g$ admet en $0$ un minimum local strict, de valeur $f(0,0)=0$.

c) Et pourtant, pas de minimum local. Sur la parabole $y=\frac{3}{2}{x}^2$, la forme canonique donne $f(x,\frac{3}{2}{x}^2)=-\frac{x^4}{4}<0$ pour $x\ne 0$. Le point $P_x=(x,\frac{3}{2}{x}^2)$ est à la distance $|x|\sqrt{1+\frac{9}{4}{x}^2}$ de l'origine, qui tend vers $0$ avec $x$ : toute boule centrée en $(0,0)$ contient des points $P_x$ où $f<0=f(0,0)$. L'origine n'est donc pas un minimum local ; ce n'est pas non plus un maximum local, puisque $f(0,y)=y^2>0$ pour $y\ne 0$.

d) Pourquoi les droites passent à côté. $f$ est strictement négative exactement entre les paraboles $y=x^2$ et $y=2x^2$, où ses deux facteurs sont de signes contraires : une région tangente à l'axe des abscisses en l'origine, plus plate que toute droite. Sur la droite $y=mx$, avec $m>0$ et $x>0$, la condition $x^2<mx<2x^2$ équivaut à $\frac{m}{2}<x<m$ : la droite ne rencontre la région négative qu'à une distance de l'origine au moins égale à $\frac{m}{2}$, qui tend vers $0$ avec la pente — et aucune boule ne tient dans la réunion des segments où chaque droite reste positive.

Contrôle numérique. Sur la parabole, $f(0,1;0,015)=-2,5\times 10^{-5}$, alors que $f(0,1;0,1)=7,2\times 10^{-3}$ sur la droite $y=x$. Le minimum de $f$ sur le cercle de centre l'origine et de rayon $r=0,01$ vaut environ $-2,4989\times 10^{-9}$ : strictement négatif, et proche de $-\frac{r^4}{4}=-2,5\times 10^{-9}$, minorant exact que donne la forme canonique, puisque $f(x,y)\ge -\frac{x^4}{4}\ge -\frac{r^4}{4}$.

Ce que l'exercice installe. La définition d'un minimum local est en boule : la restriction aux droites fournit une condition nécessaire, jamais suffisante. Quand la hessienne est positive sans être définie positive, aucun critère ne dispense d'un examen direct, et compléter un carré est souvent le moyen le plus sûr d'y voir clair. En physique, un équilibre ne se déclare pas stable après avoir testé quelques directions de déplacement.