Une EDP du premier ordre

Changement de variables linéaire : posons $u=3x+2y$, $v=y$ (bijectif), et $g(u,v)=f(x,y)$, soit $f(x,y)=g(3x+2y,y)$. La règle de la chaîne donne ${\partial }_{x}f=3{\partial }_{u}g$ et ${\partial }_{y}f=2{\partial }_{u}g+{\partial }_{v}g$, d'où $$2{\partial }_{x}f-3{\partial }_{y}f=6{\partial }_{u}g-6{\partial }_{u}g-3{\partial }_{v}g=-3\frac{\partial g}{\partial v}.$$ L'équation devient ${\partial }_{v}g=0$ : à $u$ fixé, $g$ est constante en $v$ ($\mathbb{R}$ est un intervalle), donc $g(u,v)=\phi (u)$ avec $\phi \in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R})$. Conclusion : $$f(x,y)=\phi (3x+2y),\phi \in {\mathcal{C}}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$$ (et réciproquement, toute telle fonction convient). (Lecture géométrique : l'équation dit que $f$ a une dérivée nulle selon le vecteur $(2,-3)$ — $f$ est constante le long des droites dirigées par $(2,-3)$, qui sont exactement les lignes de niveau de $3x+2y$.)