Une masse entre deux ressorts : stabilité, flambage, cas douteux

La stratégie. On ne développe pas $V$ en coordonnées : on calcule le gradient et la hessienne d'un terme, $\frac{k}{2}(MA-{\ell }_0{)}^2$, à partir de ceux de la distance $MA$, et le second s'en déduit par symétrie. Le critère du second ordre tranche deux cas sur trois ; le troisième, où la hessienne est dégénérée, se règle par une étude directe.

a) Régularité et équilibre central. $MA=\sqrt{(x+a{)}^2+y^2}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^2\setminus \{A\}$, comme la distance à l'origine, translatée ; de même $MB$ hors de $B$. Par composition avec $s\mapsto \frac{k}{2}(s-{\ell }_0{)}^2$ et par somme, $V$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, a fortiori ${\mathcal{C}}^2$, sur l'ouvert ${\mathbb{R}}^2\setminus \{A,B\}$.

Le gradient de $N=MA$ est le vecteur unitaire de $A$ vers $M$, $\frac{\overrightarrow{AM}}{AM}$ — le gradient de la distance, transporté en $A$ —, et celui de $\frac{k}{2}(N-{\ell }_0{)}^2$ est $k(N-{\ell }_0)\nabla N$, par la règle de la chaîne. En $O$, il vaut $k(a-{\ell }_0)(1,0)$ ; pour le ressort de droite, $k(a-{\ell }_0)(-1,0)$. La somme est nulle : $\nabla V(O)=0$, et $O$ est une position d'équilibre quelles que soient les valeurs de $a$ et de ${\ell }_0$ — par symétrie.

b) La hessienne en $O$. Écrivons $N=\sqrt{u^2+y^2}$ avec $u=x+a$. On a $\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{u}{N}$ et $\frac{\partial N}{\partial y}=\frac{y}{N}$ ; en dérivant encore, par exemple $\frac{{\partial }^{2}N}{\partial x^2}=\frac{1}{N}-\frac{u^2}{N^3}=\frac{y^2}{N^3}$, et au total $$H_N(M)=\frac{1}{N^3}\left(\begin{array}{cc}{y}^2& -uy\\ -uy& u^2\end{array}\right).$$ En $O$, où $u=a$, $y=0$ et $N=a$ : $\nabla N(O)=(1,0)$ et $H_N(O)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \frac{1}{a}\end{array}\right)$. Pour $h=\frac{k}{2}(N-{\ell }_0{)}^2$, la dérivation d'un produit donne, pour tous indices $i$ et $j$, $$\frac{{\partial }^{2}h}{\partial x_i\partial x_j}=k\frac{\partial N}{\partial x_i}\frac{\partial N}{\partial x_j}+k(N-{\ell }_0)\frac{{\partial }^{2}N}{\partial x_i\partial x_j},$$ c'est-à-dire $H_h=k\nabla N\nabla N^{\top }+k(N-{\ell }_0)H_N$. En $O$ : $$H_h(O)=k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+k(a-{\ell }_0)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \frac{1}{a}\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{{\ell }_0}{a}\end{array}\right).$$ Le ressort de droite donne la même matrice : son gradient en $O$ est $(-1,0)$, de même produit par son transposé, et sa hessienne se calcule avec $u=x-a=-a$, d'où $u^2=a^2$. Donc $H_V(O)=2k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1-\frac{{\ell }_0}{a}\end{array}\right)$.

Lecture physique. $2k$ est la raideur longitudinale ; le coefficient transversal, $\frac{2k(a-{\ell }_0)}{a}$, vient uniquement de la tension des ressorts — le terme $k(N-{\ell }_0)H_N$.

c) Ressorts tendus, ressorts comprimés. Les valeurs propres de $H_V(O)$ sont $2k>0$ et $2k(1-\frac{{\ell }_0}{a})$.

• Si $a>{\ell }_0$ (ressorts tendus), elles sont strictement positives : $H_V(O)\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, et $V$ admet en $O$ un minimum local strict — l'équilibre est stable.
• Si $a<{\ell }_0$ (ressorts comprimés), $\det H_V(O)=4k^2(1-\frac{{\ell }_0}{a})<0$ : les valeurs propres sont de signes opposés, $O$ est un col. En particulier $H_V(O)\notin {\mathcal{S}}_2^{+}(\mathbb{R})$ et $V$ n'a pas de minimum en $O$ : l'équilibre central est instable. Le long de l'axe, $M$ est rappelé vers $O$ ; transversalement, il en est chassé.

Les nouveaux équilibres. $V$ est une somme de deux carrés, donc $V\ge 0$, et $V(M)=0$ si et seulement si $MA=MB={\ell }_0$. Un point équidistant de $A$ et $B$ est sur la médiatrice $x=0$, et alors $a^2+y^2={\ell }_0^2$, soit $y=\pm \sqrt{{\ell }_0^2-a^2}$, réel puisque $a<{\ell }_0$. Les points $P_{\pm }=(0,\pm \sqrt{{\ell }_0^2-a^2})$ annulent $V$, qui est positive partout : ce sont des minimums globaux, et ce sont des équilibres, car un minimum atteint en un point de l'ouvert où $V$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ est un point critique. (Contrôle : pour $a=1$ et ${\ell }_0=2$, $P_{\pm }=(0,\pm \sqrt{3})$, et $MA=\sqrt{1+3}=2$.) C'est le flambage : comprimé, le système quitte la position alignée pour l'une des deux positions latérales, où chaque ressort a retrouvé sa longueur à vide.

d) Le cas limite $a={\ell }_0$. La hessienne vaut $2k\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ : positive sans être définie positive, de déterminant nul. Le critère est muet — ni « $H_V(O)\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$ », ni « $H_V(O)\notin {\mathcal{S}}_2^{+}(\mathbb{R})$ » — : il faut regarder $V$ elle-même.

Minimum global strict. $V\ge 0=V(O)$, et $V(M)=0$ impose $MA=MB=a$, donc $M$ sur la médiatrice avec $a^2+y^2=a^2$, soit $M=O$. Pour tout $M\ne O$, $V(M)>0=V(O)$.

L'ordre quatre. Sur l'axe transversal, les deux termes sont égaux : $V(0,y)=k(\sqrt{a^2+y^2}-a{)}^2$. Par la quantité conjuguée, $$\sqrt{a^2+y^2}-a=\frac{y^2}{\sqrt{a^2+y^2}+a}\sim \frac{y^2}{2a}(y\to 0),$$ donc $V(0,y)\sim \frac{k{y}^4}{4a^2}$. La fonction est plate à l'ordre deux dans la direction transversale : c'est pour cela que la hessienne ne voyait rien.

e) La pulsation transversale. La valeur propre transversale s'écrit ${\lambda }_2=\frac{2k(a-{\ell }_0)}{a}=\frac{2T}{a}$, où $T=k(a-{\ell }_0)$ est la tension de chaque ressort. D'où $${\omega }_{\perp }=\sqrt{\frac{2T}{ma}},$$ la pulsation longitudinale valant $\sqrt{\frac{2k}{m}}$. Quand $a$ tend vers ${\ell }_0$, la tension tend vers $0$, et ${\omega }_{\perp }$ aussi : les oscillations transversales deviennent de plus en plus lentes à l'approche du seuil de flambage. Ce ramollissement d'un mode est la signature d'une instabilité imminente.

Le point délicat. Le critère du second ordre est suffisant d'un côté — hessienne définie positive, minimum strict — et nécessaire de l'autre — un minimum impose une hessienne positive. Entre les deux, il ne dit rien : le minimum peut exister, comme ici, ou non, comme dans l'exercice suivant.

Ce que l'exercice installe. En un équilibre, la hessienne de l'énergie potentielle est la matrice des raideurs : ses valeurs propres disent la stabilité et donnent les pulsations propres. Le changement de signe d'une valeur propre quand un paramètre franchit un seuil est une bifurcation : l'équilibre symétrique perd sa stabilité, deux équilibres nouveaux apparaissent. C'est le modèle du flambage d'une poutre comprimée, et la même hessienne resservira pour les modes propres des oscillateurs couplés.